立体図形の体積                             戻る

 角柱(円柱を含む)や角錐(円錐を含む)の体積の公式は、皆さんにとって周知のものだろう。

 当HPでも

  四面体の求積  三角錐の体積  円柱の体積  直交する円柱  角錐の体積

  ある図形の体積  切断面の高さ  ・・・

などが話題となり、まとめられてきた。このページでは、立体図形の体積について、さらなる
考察を試みたいと思う。

例題 上面、下面が平行(各面の長方形の辺どうしが平行)な四角錐台の体積を求めよ。

   

 体積は、 h(2MN+Mn+mN+2mn)/6 で与えられる。

 特に、m=n=0 とすれば、四角錐の体積 hMN/6 となる。

    M=m、N=n とすれば、直方体の体積 hMN となる。

(解) 立体図形は、長方形EFGHを底面とする四角錐O-EFGHから長方形ABCDを底面
   とする四角錐O-ABCDを取り除いたものである。

   OA : OE=1 : k とすると、 M=km 、N=kn が成り立つ。

 また、四角錐O-ABCDの高さを x とおくと、 x : x+h=1 : k なので、 x=h/(k-1)

 このとき、 x+h=hk/(k-1) である。

 よって、 四角錐O-ABCDの体積V1は、 V1=mnh/{3(k-1)}

 四角錐O-EFGHの体積V2は、 V2=MNhk/{3(k-1)}=mnhk3/{3(k-1)}

 したがって、求める立体図形の体積は、

2-V1=mnhk3/{3(k-1)}-mnh/{3(k-1)}

     =mnh(k3-1)/{3(k-1)}

     =mnh(k2+k+1)/3

     =h(mk・nk+mnk+mn)/3

     =h(2mk・nk+mnk+mnk+2mn)/6

     =h(2MN+Mn+mN+2mn)/6  (終)

(別解) 立体図形を下図のように3つの部分に分割する。

     

 このとき、求める立体図形の体積は、

 (N+n)hm/2+(M-m)hn/2+(M-m)(N-n)h/3

=h(3Nm+3mn+3Mn-3mn+2MN-2Mn-2Nm+2mn)/6

=h(2MN+Mn+Nm+2mn)/6  (終)



  以下、工事中!