三角錐の体積                             戻る

 当HPの読者のK.S.さんより、平成24年10月10日付けで標記話題をメールで頂いた。

 原点をOとし、空間上の3点A(a1,a2,a3)、B(b1,b2,b3)、C(c1,c2,c3)とする。

 このとき、三角錐 O-ABC の体積Vは、次式で与えられる。

   

(証明1) 3点A(a1,a2,a3)、B(b1,b2,b3)、C(c1,c2,c3)を通る平面の方程式を

     ax+by+cz=1 とすると、原点Oから平面への距離 h は、

      

    また、△ABCの面積 S は、 S=(1/2)|AB×AC

     よって、 V=(1/3)Sh から、

          (証終)


(証明2) x、y、z軸に対する回転行列により、点A、Bが平面 z=0 上にのるようにするこ

     とができる。回転行列の行列式の値は1なので、体積も変化しない。具体的には、

     点Aが平面 y=0 上にあるようにz軸回転し、さらに、y軸回転により、点Aをx軸上

     に移動させる。次に、点Bをx軸回転により、平面z=0上に移す。  (証終)


(コメント) (証明2)の方法は、行列式の簡略化を考えればいいのだろう...。


(追記) 平成26年1月21日付け

 1辺4の立方体ABCD-EFGHがある。BC上にBP=1、EF上にFQ=1、GH上にHR=2
となる点P、Q、Rをとる。

 このとき、四面体APQRの体積を求めよ。

(参考:筑波大学附属駒場高校数学科学研究会編 「Cafe Bollweck No.Z」)

(解) A(0,0,0)、B(4,0,0)、D(0,4,0)、E(0,0,4)とおくと、

     P(4,1,0)、Q(3,0,4)、R(2,4,4)

  よって、AP=(4,1,0)、AQ=(3,0,4)、AR=(2,4,4) が定める三角錐の体積

 は、上記の公式に代入して、34/3となる。  (終)


 「Cafe Bollweck No.Z」によれば、次のように幾何的に解けるとのこと。素晴らしい!

(別解) FG上にFS=1となるSをとり、ESとQRの交点をTとする。すると、面AESPとQR

    は垂直に交わるので、四面体APQRの体積は、

   △APT・QR/3=(AP・AE/2)・QR/3=(ES・4/2)・QR/3

            =ES・QR・2/3=ES2・2/3=17・2/3=34/3  (終)