解の公式を鮮やかに導く方法              戻る

 2次方程式 aX2+bX+c=0 の解の公式は、新学習指導要領により、数学Tでの履修
内容となった。各教科書会社の教科書においては、横並びに同じような証明(文字の分数
が洪水のように押し寄せる、例の証明です!)が掲載されている。文字を含む分数式の計
算が不慣れな高校1年生にとっては、辛い計算となっている。

 最近、その解の公式の証明で、鮮やかな方法があることを知った。次のようにやるらしい。

     aX2+bX+c=0 より、 aX2+bX=−c だから、 4a22+4abX=−4ac
    よって、 4a22+4abX+b2=b2−4ac より、(2aX+b)2=b2−4ac
    したがって、  であるので、
    求める解の公式は、
                 
    となる。

 ちょっとした工夫だが、途中計算に、文字の分数が一切出ないところが素晴らしいと思う。
多分、この裏技をみて一番感動するのは、教科書の証明で苦労をした人々だろう。

(参考文献:野崎昭弘・何森 仁・伊藤潤一・小沢健一 著
                               数と計算の意味がわかる (ベレ出版))

(追記) 平成21年11月25日付け

  最近、上記の鮮やかな解法が、実は、シュリーダラ(Sridhara 10〜11世紀頃)によるも
 のであることを知った。シュリーダラは、2次方程式 aX2+bX=c の解を次のように述べ
 ている。

   方程式の両辺に未知数の平方の係数の4倍に等しい量を掛け、両辺に未知数
  の係数の平方に等しい量を加え、次に平方根をとれ


  これは正しく上記で述べた式変形である。