長方形の数                                戻る

 いま、6個の正方形が下図のように積まれている。

    このとき、長方形(正方形も長方形の一つに数える。)は、何個あるだ
   ろうか?

    地道に計算すれば、次のようであろう。


            1×1長方形(正方形)は、6個
            1×2長方形は、3個   2×1長方形は、3個
            1×3長方形は、1個   3×1長方形は、1個
            2×2長方形は、1個
                            以上から、長方形の総数は、15個

 それでは、次のような場合、長方形は、何個あるだろうか?


    もちろん、この場合についても地道に計算する
   方法もあるが、煩雑だろうという気分が優先して、
   やってみようという気にはならない。多分、多くの
   人は、そう考えるだろう。

    もう少し、求め方の工夫が必要なようだ。

    横線から2本、縦線から2本とるといった通常
   の組合せの問題風に考えると、存在しえない長
   方形も数え上げてしまう。

    そこで、そのような問題点を回避するような裏
   技が必要となる。


 図形外に補助線を1本引いて計算すると、「あっ!」という間にできてしまう。
とても「おそろしい」裏技である!

    左図において、11個の点から、4個の点を
   選ぶ。

    上段の2点においては、縦線、下段の2点
   においては、横線を引く。

    このとき、2本の縦線と2本の横線により長
   方形が唯一つ定まる。

    逆に、一つの長方形に対して、赤線上の4
   点が定まる。

    従って、求める長方形の総数は、11個の
   点から4個の点を選ぶ組合せの数に等しい。



 したがって、長方形の総数は、 11C4=330 (個)である。

冒頭の場合、長方形の総数は、 6C4=15 (個)で求められる。

 一般に、

   n 段の階段の場合、長方形の総数は、  n+34 (個)

であることが分かる。


(参考文献:根上生也・中本敦浩 著  基礎数学力トレーニング (日本評論社))