高校で学ぶ因数分解の最高峰は次の公式だろう。
ｘ3＋ｙ3＋ｚ3−３ｘｙｚ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2−ｘｙ−ｙｚ−ｚｘ）
この公式は、式の値の計算や不等式の問題で活躍する。
今まで、この公式の証明としては、次のような計算をするものとばかり思っていた。
（証明）
ｘ3＋ｙ3＋ｚ3−３ｘｙｚ＝（ｘ＋ｙ）3−３ｘｙ（ｘ＋ｙ）＋ｚ3−３ｘｙｚ
＝（ｘ＋ｙ）3＋ｚ3−３ｘｙ（ｘ＋ｙ＋ｚ）
＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）｛（ｘ＋ｙ）2−（ｘ＋ｙ）ｚ＋ｚ2｝−３ｘｙ（ｘ＋ｙ＋ｚ）
＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）｛（ｘ＋ｙ）2−（ｘ＋ｙ）ｚ＋ｚ2−３ｘｙ｝
＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2−ｘｙ−ｙｚ−ｚｘ） （終）
このような解法に対して、次のような裏技があることを、当ＨＰがいつもお世話になってい
るＳ（Ｈ）さんよりご教示いただいた。Ｓ（Ｈ）さんに感謝します。
（裏技）
３つの数 ｘ、ｙ、ｚ を零点に持つ３次式は、 （Ｔ−ｘ）（Ｔ−ｙ）（Ｔ−ｚ） とおける。
このとき、 （Ｔ−ｘ）（Ｔ−ｙ）（Ｔ−ｚ）＝Ｔ3−（ｘ＋ｙ＋ｚ）Ｔ2＋（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）Ｔ−ｘｙｚ
において、Ｔに ｘ、ｙ、ｚ をそれぞれ代入して、
ｘ3−（ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘ2＋（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）ｘ−ｘｙｚ＝０
ｙ3−（ｘ＋ｙ＋ｚ）ｙ2＋（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）ｙ−ｘｙｚ＝０
ｚ3−（ｘ＋ｙ＋ｚ）ｚ2＋（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）ｚ−ｘｙｚ＝０
３つの式を辺々加えると、
ｘ3＋ｙ3＋ｚ3−（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2）＋（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）（ｘ＋ｙ＋ｚ）−３ｘｙｚ＝０
よって、
ｘ3＋ｙ3＋ｚ3−３ｘｙｚ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2）−（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）（ｘ＋ｙ＋ｚ）
＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2−ｘｙ−ｙｚ−ｚｘ）
（追記） 当ＨＰがいつもお世話になっている ＧＡＩ さんも同様な方法を推奨されて
いる。（平成２２年３月５日付け）
ｘ＋ｙ＋ｚ＝ａ 、ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝ｂ 、ｘｙｚ＝ｃ とおくと、３つの数 ｘ、ｙ、ｚ は、
３次方程式 Ｔ3−ａＴ2＋ｂＴ−ｃ＝０ の解である。
これから、 ｘ3−ａｘ2＋ｂｘ−ｃ＝０
ｙ3−ａｙ2＋ｂｙ−ｃ＝０
ｚ3−ａｚ2＋ｂｚ−ｃ＝０
これらの和をとって、
ｘ3＋ｙ3＋ｚ3−ａ（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2）＋ｂ（ｘ＋ｙ＋ｚ）−３ｃ＝０
ｘ3＋ｙ3＋ｚ3−ａ（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2−ｂ）−３ｃ＝０
ｘ3＋ｙ3＋ｚ3−３ｃ＝ａ（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2−ｂ）
よって、
ｘ3＋ｙ3＋ｚ3−３ｘｙｚ＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2−ｘｙ−ｙｚ−ｚｘ）
（コメント） この裏技だと、難しい因数分解の公式には見えないですね！
この裏技の手法を用いると、Ｓ（Ｈ）さんが平成２１年７月１６日付けで提供された公式
ｘ3＋ｙ3＋ｚ3＋ｗ3−３（ｘｙｚ＋ｘｙｗ＋ｘｚｗ＋ｙｚｗ）
＝（ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ）（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＋ｗ2−ｘｙ−ｘｚ−ｘｗ−ｙｚ−ｙｗ−ｚｗ）
を示すことも容易だろう。
これは、読者のための練習問題としよう。
この話題に関連して、ＨＮ「よおすけ」さんが当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に情報を寄せら
れた。よおすけさんに感謝します。
この問題に関連した内容が、数学問題集「考える葦」の中の「高校１年の数学知識で解け
る数学問題集」の問題６に載っているとのこと。
全米数学オリンピック（１９７３年）
問４ 次の連立方程式を解け。
ｘ＋ｙ＋ｚ＝３ 、 ｘ2＋ｙ2＋ｚ2＝３ 、 ｘ3＋ｙ3＋ｚ3＝３
（解） ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝｛（ｘ＋ｙ＋ｚ）2−（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2）｝/２＝３
ｘｙｚ＝｛（ｘ3＋ｙ3＋ｚ3）−（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ2＋ｙ2＋ｚ2−ｘｙ−ｙｚ−ｚｘ）｝/３＝１
より、 ３つの数 ｘ、ｙ、ｚ は３次方程式 ｔ3−３ｔ2＋３ｔ−１＝０ の解である。
よって、 （ｔ−１）3＝０ より、 ｔ＝１ すなわち、 ｘ＝ｙ＝ｚ＝１ である。 （終）
（コメント） 何か、易しかったですね．．．。