固有ベクトルを求める                           戻る

 行列の対角化とか、Jordanの標準形、2次曲線(曲面)の分類など、固有値、固有ベクトル
の活躍する場は数多い。このページでは、簡単に固有ベクトルを求める裏技を紹介したい。

定義
  実数体上の線形空間をVとする。VからVへの線形変換を表す行列Aに対して、
    Ax=kx (xは0以外)となるの要素kを、Aの固有値、Vの要素xをkに属するAの
  固有ベクトルという。

  に対して、固有方程式 det(A−kE)=0 を解くと、k=1、5
このとき、(A−E)(A−5E)= =0   (但し、Eは単位行列)

    (A−E)(A−5E)=(A−E)(u v)   (ただし、u、v は、A−5E の列ベクトル)

  右辺を計算して、 (A−E)(A−5E)=(A−E)(u v)=((A−E)u (A−E)v)= 0

  なので、 (A−E)v=0 となり、 A−5E の列ベクトル v が、固有値 1 に属する
  固有ベクトルになることが分かる。固有値 5 に属する固有ベクトルの求め方も同様。

したがって、、k=1に属する固有ベクトル(の一つ)は、
         k=5に属する固有ベクトル(の一つ)は、

(注意) 固有ベクトルを求める正統的な方法は、不定な連立方程式を解かなければならな
    い。たとえば、上記の例では、k=1のとき、連立方程式
      2x+3y=x , x+4y=y   の解は、x+3y=0 を満たす全てのx,y となる。
    このことから、固有ベクトルが求められる。k=5のときも、同様。

 正統的な解法に比べて、裏技の解法は、単に行列の成分計算に帰着されているので、容
易に、固有ベクトルが求められることに驚かされる。

(参考文献:宮原 繁 著 漸化式 (科学新興社モノグラフ))

(追記) 山梨県在住のKさんという方からメールで質問を頂いた。

    上記の裏技は、行列が3次や4次、・・・の場合も使えるのでしょうか?

  もう随分昔に学んだ線形代数学の知識しかないので、確定的なことをいうだけの自信は
 ありませんが、多分、同様に裏技が使えるはずです。

  その根拠として、

 (1) 任意の n 次の正方行列 A に対して、適当な正則行列 P を選ぶことにより、
    P-1APを上三角行列に変形することができる。
    このとき、対角成分は、Aの固有値である。

 (2) 行列 A の固有多項式 F(X)=det(XE−A)  (Eは単位行列) に対して、
    F(A)=O  (O は零行列) が成り立つ。(Hamilton−Cayley の定理)

 があげられる。 (1)(2)より、行列 A の固有値を α、β、・・・、γ とすれば、

     (A−αE)(A−βE)・・・・・・(A−γE)=O

 が成り立つ。

 いくつか具体例を通して、固有値と固有ベクトルを裏技で求めてみよう。
裏技で得られたものが、本当に題意に適するかどうかは、読者の検証にまかせようと思う。

例  次の行列 A の固有値と固有ベクトルを求めよ。

         

   det(A−λE)=−λ(λ−1)(λ−2)=0 より、固有値は、 0 ,1 ,2 の3個。

  このとき、 A(A−E)(A−2E)=O が成り立ち、

     

   したがって、上記行列の列ベクトルに注目すれば、

  固有値 0 に属する固有ベクトル(の一つ)は、 ( 1 , 2 ,−2 ) である。

  同様にして、

  固有値 1 に属する固有ベクトル(の一つ)は、 ( 1 , 2 ,−1 ) である。

  固有値 2 に属する固有ベクトル(の一つ)は、 ( 0 , 1 ,−1 ) である。

例  次の行列 A の固有値と固有ベクトルを求めよ。

         

   det(A−λE)=(λ−3)(λ2−λ+1)=0 より、

  固有値は、 3 ,α ,β の3個。 

  ただし、α=(1+i)/2 、β=(1−i)/2 である。  ( i は虚数単位)

  このとき、 (A−3E)(A−αE)(A−βE)=(A−3E)(A2−A+E)=O が成り立ち、

     

   したがって、上記行列の列ベクトルに注目すれば、

  固有値 3 に属する固有ベクトル(の一つ)は、 ( −1 , 4 ,2 ) である。

  同様にして、

  (A−αE)(A−3E)(A−βE)=(A−αE)(A2−(β+3)A+3βE)=O が成り立ち、

    

   したがって、上記行列の列ベクトルに注目すれば、

  固有値 α に属する固有ベクトル(の一つ)は、

             ( 2 , −4+2i ,1−i )

である。同様にして、固有値 β に属する固有ベクトル(の一つ)は、

             ( 2 , −4−2i ,1+i )

である。

 上記で述べたことが、Kさんの質問の趣旨に合致していることを祈って筆をおく。