固有ベクトルを求める　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　行列の対角化とか、Ｊｏｒｄａｎの標準形、２次曲線(曲面）の分類など、固有値、固有ベクトル
の活躍する場は数多い。このページでは、簡単に固有ベクトルを求める裏技を紹介したい。

定義　　実数体Ｒ上の線形空間をＶとする。ＶからＶへの線形変換を表す行列Ａに対して、
　　　　Ａｘ＝ｋｘ　（ｘは０以外）となるＲの要素ｋを、Ａの固有値、Vの要素ｘをｋに属するＡの
　　固有ベクトルという。

例

に対して、固有方程式　ｄｅｔ（Ａ−ｋＥ）＝０　を解くと、ｋ＝１、５

このとき、（Ａ−Ｅ）（Ａ−５Ｅ）＝

＝０ 　　（但し、Ｅは単位行列）

　　　　（Ａ−Ｅ)(Ａ−５Ｅ)＝（Ａ−Ｅ)(ｕ　v)　　　（ただし、ｕ、v　は、Ａ−５Ｅ　の列ベクトル）

　　右辺を計算して、　（Ａ−Ｅ)(Ａ−５Ｅ)＝（Ａ−Ｅ)(ｕ　v)＝(（Ａ−Ｅ)ｕ　（Ａ−Ｅ)ｖ)＝　０

　　なので、　（Ａ−Ｅ)ｖ＝０　となり、　Ａ−５Ｅ　の列ベクトル　ｖ　が、固有値　１　に属する
　　固有ベクトルになることが分かる。固有値　５　に属する固有ベクトルの求め方も同様。

したがって、、ｋ＝１に属する固有ベクトル（の一つ）は、
ｋ＝５に属する固有ベクトル（の一つ）は、

（注意）　固有ベクトルを求める正統的な方法は、不定な連立方程式を解かなければならな
　　　　い。たとえば、上記の例では、ｋ＝１のとき、連立方程式
　　　　　　２ｘ＋３ｙ＝ｘ　，　ｘ＋４ｙ＝ｙ　　　の解は、ｘ＋３ｙ＝０　を満たす全てのｘ，ｙ となる。
　　　　このことから、固有ベクトルが求められる。ｋ＝５のときも、同様。

　正統的な解法に比べて、裏技の解法は、単に行列の成分計算に帰着されているので、容
易に、固有ベクトルが求められることに驚かされる。

（参考文献：宮原　繁　著　漸化式　（科学新興社モノグラフ））

（追記）　山梨県在住のＫさんという方からメールで質問を頂いた。

　　　　上記の裏技は、行列が３次や４次、・・・の場合も使えるのでしょうか？

　　もう随分昔に学んだ線形代数学の知識しかないので、確定的なことをいうだけの自信は
　ありませんが、多分、同様に裏技が使えるはずです。

　　その根拠として、

　（１）　任意の ｎ 次の正方行列 Ａ に対して、適当な正則行列 Ｐ を選ぶことにより、
　　　　Ｐ^-1ＡＰを上三角行列に変形することができる。
　　　　このとき、対角成分は、Ａの固有値である。

　（２）　行列 Ａ の固有多項式　Ｆ_Ａ(Ｘ)＝ｄｅｔ(ＸＥ−Ａ)　　（Ｅは単位行列）　に対して、
　　　　Ｆ_Ａ(Ａ)＝Ｏ　　（Ｏ　は零行列）　が成り立つ。（Ｈａｍｉｌｔｏｎ−Ｃａｙｌｅｙ　の定理）

　があげられる。　（１）（２）より、行列 Ａ の固有値を　α、β、・・・、γ　とすれば、

　　　　　（Ａ−αＥ)(Ａ−βＥ)・・・・・・（Ａ−γＥ)＝Ｏ

　が成り立つ。

　いくつか具体例を通して、固有値と固有ベクトルを裏技で求めてみよう。
裏技で得られたものが、本当に題意に適するかどうかは、読者の検証にまかせようと思う。

例　　次の行列 Ａ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

　　　　　　　　　

　　　ｄｅｔ（Ａ−λＥ）＝−λ(λ−１)(λ−２)＝０　より、固有値は、　０　，１　，２　の３個。

　　このとき、　Ａ(Ａ−Ｅ)（Ａ−２Ｅ)＝Ｏ　が成り立ち、

　　　　　

　　　したがって、上記行列の列ベクトルに注目すれば、

　　固有値　０　に属する固有ベクトル（の一つ）は、　（ １ ， ２　，−２ ）　である。

　　同様にして、

　　固有値　１　に属する固有ベクトル（の一つ）は、　（ １ ， ２　，−１ ）　である。

　　固有値　２　に属する固有ベクトル（の一つ）は、　（ ０ ， １　，−１ ）　である。

例　　次の行列 Ａ の固有値と固有ベクトルを求めよ。

　　　　　　　　　

　　　ｄｅｔ（Ａ−λＥ）＝(λ−３)(λ²−λ＋１）＝０　より、

　　固有値は、　３　，α　，β　の３個。　

　　ただし、α＝（１＋ｉ）/２　、β＝（１−ｉ）/２　である。　　（　ｉ　は虚数単位）

　　このとき、　(Ａ−３Ｅ)(Ａ−αＥ)（Ａ−βＥ)＝(Ａ−３Ｅ)(Ａ²−Ａ＋Ｅ）＝Ｏ　が成り立ち、

　　　　　

　　　したがって、上記行列の列ベクトルに注目すれば、

　　固有値　３　に属する固有ベクトル（の一つ）は、　（ −１ ， ４　，２ ）　である。

　　同様にして、

　　(Ａ−αＥ)(Ａ−３Ｅ)（Ａ−βＥ)＝(Ａ−αＥ)（Ａ²−（β＋３）Ａ＋３βＥ）＝Ｏ　が成り立ち、

　　　　

　　　したがって、上記行列の列ベクトルに注目すれば、

　　固有値　α　に属する固有ベクトル（の一つ）は、

　　　　　　　　　　　　　（ ２ ， −４＋２ｉ　，１−ｉ ）

である。同様にして、固有値　β　に属する固有ベクトル（の一つ）は、

　　　　　　　　　　　　　（ ２ ， −４−２ｉ　，１＋ｉ ）

である。

　上記で述べたことが、Ｋさんの質問の趣旨に合致していることを祈って筆をおく。