三角関数の大小                           戻る

 現行の学習指導要領では、高校1年で三角比の定義およびその図形への応用を学び、
高校2年では関数として衣替えし、三角関数およびそのグラフを学ぶ。

 教科書では、基本のグラフからそれらの関係を把握するのにとどまっている。

 

 高校3年で三角関数の微分を学習して、三角関数と初等関数との関係を知ることになる。

その中で大切な関係は、次の不等式だろう。

  x ≧ 0 のとき、 x ≧ sin x    ただし、等号成立は、x=0 のときに限る

この不等式の証明は易しい。

(証明) F(x)= x − sin x とおくと、 F’(x)= 1 − cos x ≧0 より、

    F(x)は単調増加関数となる。

   また、F(0)=0 なので、 x ≧ 0 のとき、 F(x) ≧0 となる。

    よって、 x ≧ 0 のとき、  x ≧ sin x が成り立つ。 (証終)

 この不等式は、直線 y=x が、曲線 y=sin x の原点における接線であるという関係から
も直感的に受け入れやすい。

 平成17年4月29日、当HPの掲示板「出会いの泉」にHN「ポルテ」さんという方から質問
が寄せられた。

  sin(cos x)  と cos(sin x) について、 cos(sin x)>sin(cos x) が成り立つことは、
グラフ描画ソフトを用いて分かるが、計算では、どう示せばいいのだろうか?

 実際に、グラフ描画ソフトを用いて2つの曲線の概形を描かせてみた。

   

 グラフから、確かに不等式の成り立つことが了解される。

さらに、上図から、 y=sin(cos x) は、周期 2π の周期関数

             y=cos(sin x) は、周期 π の周期関数

であることが予想される。実際に、

 sin(cos (2π+x))=sin(cos x) 、 cos(sin (π+x))=cos(−sin x)=cos(sin x)

から明らかであろう。

 「ポルテ」さんの問題に対して、当HPがいつもお世話になっているHN「らすかる」さんが、
不等式 「 x ≧ 0 のとき、 x ≧ sin x 」を活用して、明解に解決された。

 以下は、らすかるさんの解答に若干の補足をしてまとめたものである。

まず

 2つの曲線 y=sin(cos x) と y=cos(sin x) は、直線 x= π に関して線対称

であることを示す。

実際に、 sin(cos (π+x))=sin(−cos x)=−sin(cos x)

      sin(cos (π−x))=sin(−cos x)=−sin(cos x)

   よって、 sin(cos (π+x))=sin(cos (π−x)) より、成り立つ。

同様に、 cos(sin (π+x))=cos(−sin x)=cos(sin x)

      cos(sin (π−x))=cos(sin x)

   よって、 cos(sin (π+x))=cos(sin (π−x)) より、成り立つ。

また、 y=sin(cos x) 、y=cos(sin x) は、それぞれ周期 2π、π の周期関数なので、

 考える x の範囲として、 0 ≦ x ≦ π としても一般性を失わない。

まず、 0 ≦ x < π/2 のとき、 y=cos x は単調減少で、 x ≧ sin x より、

      cos x ≦ cos(sin x) すなわち、 cos(sin x)≧ cos x

 また、 cos x > 0 なので、 cos x > sin (cos x)

上記の2つの不等式より、 cos(sin x)> sin (cos x)  が成り立つ。

次に、 π/2 ≦ x ≦ π のとき、 −π/2 < cos x ≦ 0 なので、sin (cos x) ≦ 0

一方、 0 ≦ sin x < π/2 なので、 cos(sin x)> 0 が成り立つ。

上記の2つの不等式より、 cos(sin x)> sin (cos x)  が成り立つ。

 以上から、0 ≦ x ≦ π のとき、 cos(sin x)> sin (cos x) が成り立ち、従って、

     全ての実数 x に対して、 cos(sin x)> sin (cos x)

が成り立つ。

(コメント) 今まであまり気にとめなかった不等式「 x ≧ 0 のとき、 x ≧ sin x 」の力
      強いパワーに思わずひれ伏しました!このような機会を与えていただいたらす
      かるさんと質問者のポルテさんに感謝いたします。

(追記) 平成18年3月1日、当HPの掲示板「出会いの泉」に、HN「ぽるて」さんから久々
    の書き込みがあった。受験も終わってあとは合格発表を待つ…!だけという時間の
    中で、上記の別解(?)に繋がりそうなものを発見されたとのことである。

 ここでは、ぽるてさんの発見された別解を紹介したいと思う。

 −π/2 < u < π/2 、−π/2 < v < π/2 のとき、 sin u < cos v を満たす点

( u , v ) の存在範囲を求める。

cos v −sin u = cos v −cos (π/2−u)

          =−2sin{(π/2+v−u)/2}・sin{(v+u−π/2)/2}

          =2sin{(π/2+v−u)/2}・sin{(π/2−v−u)/2}>0

よって、 sin{(π/2+v−u)/2}>0 かつ sin{(π/2−v−u)/2}>0

    または、

      sin{(π/2+v−u)/2}<0 かつ sin{(π/2−v−u)/2}<0

ここで、 −π/2 < u < π/2 、−π/2 < v < π/2 に注意して、

      −π/4<(π/2+v−u)/2<3π/4

      −π/4<(π/2−v−u)/2<3π/4

なので、 0<(π/2+v−u)/2<3π/4 かつ 0<(π/2−v−u)/2<3π/4

  または、 −π/4<(π/2+v−u)/2<0 かつ −π/4<(π/2−v−u)/2<0

よって、 0<π/2+v−u<3π/2 かつ 0<π/2−v−u<3π/2

  または、 −π/2<π/2+v−u<0 かつ −π/2<π/2−v−u<0

すなわち、 −π/2<v−u<π かつ −π<v+u<π/2

  または、 −π<v−u<−π/2 かつ π/2<v+u<π

以上から、 sin u < cos v を満たす点( u , v ) の存在範囲は、

    

ただし、境界線は含まない。

このとき、単位円周上の点(cos x ,sin x )は、上記の領域内にあるので、

       sin (cos x)<cos(sin x)

が成り立つ。

(コメント) ぽるてさん、証明がスッキリですね!このような計算を高校時代にやらされたの
      を思い出しました。ぽるてさん、大学受かるといいね!ぽるてさんに、謝謝!

(追記) 平成20年8月14日付け

 冒頭で、「 θ≧0 のとき、 sinθ ≦ θ 」が成り立つことを証明したが、さらに詳しく

     0≦θ<π/2 のとき、  sinθ ≦ θ ≦ tanθ

が成り立つことは数学Vの教科書に必ず紹介されている公式である。この不等式を用いて、

       

という重要公式が証明されるわけだが、最近、この不等式を有効に活用する問題に遭遇し
たので、備忘録として残したいと思う。

問 題


  左図において、 h → ∞ のとき、

      

 はどんな値に近づくか?





(コメント) h → ∞ のとき、 α → 0 、 β → 0 なので、求めるものは不定形の極限
      値である。 どんな値に近づくのか、大いに興味が引き起こされますね!

(解) tan α = 1/h 、 tan (α+β) = 4/h なので、

     
   より、
       

   ここで、
              

   であり、 0 < α , β < π/2 において、

              

   なので、
         

   が成り立つ。

    このとき、
           

           

   なので、はさみうちの原理により、
                           (終)

 上記の解では、不等式を意識して極限値を求めているが、もちろん直接的に求める方法
もある。

(別解)  tan α = 1/h 、 tan (α+β) = 4/h なので、

     
   より、
       

   ここで、
              

   よって、 h → ∞ のとき、 α → 0 、 β → 0 なので、

    (終)

(コメント) この結果より、 α , β は同程度の無限小であることが分かりますね!
      図から、当たり前かな?

(追記) 平成21年1月9日付け

  上記の計算で、 0 < α , β < π/2 において、

              

 が成り立つことから、不等式
                   

 を利用したが、最近、 0 < β < α < π/2 において、 不等式

        

が成り立つことに気がついた。

(証明) 両辺の対数をとって、

    log(sinα)−log(sinβ)<log(α)−log(β)<log(tanα)−log(tanβ)

が成り立つことを示せばよい。

 0 < β < α < π/2 において、Cauchy の平均値の定理より、

   

   

となる m 、n ( β < m , n < α )が存在する。

 ここで、 F(m)=sin m−m・cos m とおくと、 0 < m < π/2 において、

   F’(m)=cos m−cos m+m・sin m=m・sin m>0

より、関数 F(m) は単調に増加し、 F(0)=0 なので、F(m)>0 となる。

よって、
       

同様にして、 G(n)=n−sin n・cos n とおくと、 0 < n< π/2 において、

   G’(n)=1−cos2 n+sin2 n=2sin2 n>0

より、関数 G(n) は単調に増加し、 G(0)=0 なので、G(n)>0 となる。

よって、
       

 以上から、不等式

    log(sinα)−log(sinβ)<log(α)−log(β)<log(tanα)−log(tanβ)

の成り立つことが示された。 (証終)

(コメント) 0 < β < α < π/2 において、

              

 から、
        

 も示されるなんて、何か不思議な感覚ですね!

 この不等式を利用しても、求める解は上記とほとんど同じで変わり映えしないが...。


 はさみうちの原理を用いる問題が、平成27年度入試 東京大学前期理系で出題された。

問題 nを正の整数とする。以下の問いに答えよ。
(1) 関数g(x)を次のように定める。
    g(x)=(cos(πx)+1)/2 (|x|≦1のとき) 、 g(x)=0 (|x|>1のとき)
  f(x)を連続な関数とし、p、qを実数とする。|x|≦1/nをみたすxに対して、p≦f(x)≦q
 が成り立つとき、次の不等式を示せ。
    p≦n∫-11g(nx)f(x)dx≦q

(2) 関数h(x)を次のように定める。
    h(x)=−(π/2)sin(πx) (|x|≦1のとき) 、 h(x)=0 (|x|>1のとき)
  このとき、次の極限を求めよ。
    limn→∞2-11h(nx)log(1+ex+1)dx

(解)(1) 関数g(x)の定義から、|x|≦1/n のとき、g(nx)=(cos(nπx)+1)/2(≧0)

     |x|>1/n のとき、 g(nx)=0  なので、

 p∫-1/n1/n (cos(nπx)+1)/2dx≦∫-1/n1/n g(nx)f(x)dx
                                ≦q∫-1/n1/n (cos(nπx)+1)/2dx

ここで、 p∫-1/n1/n (cos(nπx)+1)/2dx=p[{sin(nπx)}/(nπ)+x)/2]-1/n1/n =p/n

     q∫-1/n1/n (cos(nπx)+1)/2dx=q[{sin(nπx)}/(nπ)+x)/2]-1/n1/n =q/n

よって、 p/n≦∫-1/n1/n g(nx)f(x)dx≦q/n より、 p≦n∫-11g(nx)f(x)dx≦q

(2) 関数h(x)の定義から、|x|≦1/n のとき、 h(nx)=−(π/2)sin(nπx)

     |x|>1/n のとき、 h(nx)=0  なので、

  n2-11h(nx)log(1+ex+1)dx

=n2-1/n1/n {−(π/2)sin(nπx)}log(1+ex+1)dx

=n2([{(cos(nπx)+1)/2n}log(1+ex+1)]-1/n1/n
                    −∫-1/n1/n {(cos(nπx)+1)/2n}ex+1/(1+ex+1)dx)

=n(−∫-1/n1/n g(nx)ex+1/(1+ex+1)dx)

 ここで、F(x)=ex+1/(1+ex+1)とおくと、 

  F’(x)=(ex+1(1+ex+1)−(ex+12)/(1+ex+12=ex+1/(1+ex+12>0 より、

|x|≦1/n において、単調増加となるので、

   e-1/n+1/(1+e-1/n+1)≦F(x)≦e1/n+1/(1+e1/n+1

 以上から、

 −e1/n+1/(1+e1/n+1)≦n2-11h(nx)log(1+ex+1)dx≦−e-1/n+1/(1+e-1/n+1

 n→∞ のとき、 −e1/n+1/(1+e1/n+1)→−e/(1+e)

           −e-1/n+1/(1+e-1/n+1)→−e/(1+e)

なので、はさみうちの原理により、

   limn→∞2-11h(nx)log(1+ex+1)dx=−e/(1+e)  (終)


(コメント) 予備校等の問題分析では「やや難」とのことらしいです。某週刊誌によれば、この
      問題は最難関の理Vの受験生以外は解かない方がいいとも言われているらしい
      です。