現行の学習指導要領では、高校１年で三角比の定義およびその図形への応用を学び、
高校２年では関数として衣替えし、三角関数およびそのグラフを学ぶ。
教科書では、基本のグラフからそれらの関係を把握するのにとどまっている。
高校３年で三角関数の微分を学習して、三角関数と初等関数との関係を知ることになる。
その中で大切な関係は、次の不等式だろう。
ｘ ≧ ０ のとき、 ｘ ≧ ｓｉｎ ｘ ただし、等号成立は、ｘ＝０ のときに限る
この不等式の証明は易しい。
（証明） Ｆ（ｘ）＝ ｘ － ｓｉｎ ｘ とおくと、 Ｆ’（ｘ）＝ １ － ｃｏｓ ｘ ≧０ より、
Ｆ（ｘ）は単調増加関数となる。
また、Ｆ（０）＝０ なので、 ｘ ≧ ０ のとき、 Ｆ（ｘ） ≧０ となる。
よって、 ｘ ≧ ０ のとき、 ｘ ≧ ｓｉｎ ｘ が成り立つ。 （証終）
この不等式は、直線 ｙ＝ｘ が、曲線 ｙ＝ｓｉｎ ｘ の原点における接線であるという関係から
も直感的に受け入れやすい。
平成１７年４月２９日、当ＨＰの掲示板「出会いの泉」にＨＮ「ポルテ」さんという方から質問
が寄せられた。
ｓｉｎ(ｃｏｓ ｘ) と ｃｏｓ(ｓｉｎ ｘ) について、 ｃｏｓ(ｓｉｎ ｘ)＞ｓｉｎ(ｃｏｓ ｘ) が成り立つことは、
グラフ描画ソフトを用いて分かるが、計算では、どう示せばいいのだろうか？
実際に、グラフ描画ソフトを用いて２つの曲線の概形を描かせてみた。
グラフから、確かに不等式の成り立つことが了解される。
さらに、上図から、 ｙ＝ｓｉｎ(ｃｏｓ ｘ) は、周期 ２π の周期関数
ｙ＝ｃｏｓ(ｓｉｎ ｘ) は、周期 π の周期関数
であることが予想される。実際に、
ｓｉｎ(ｃｏｓ （２π＋ｘ)）＝ｓｉｎ(ｃｏｓ ｘ) 、 ｃｏｓ(ｓｉｎ （π＋ｘ)）＝ｃｏｓ(－ｓｉｎ ｘ)＝ｃｏｓ(ｓｉｎ ｘ)
から明らかであろう。
「ポルテ」さんの問題に対して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんが、
不等式 「 ｘ ≧ ０ のとき、 ｘ ≧ ｓｉｎ ｘ 」を活用して、明解に解決された。
以下は、らすかるさんの解答に若干の補足をしてまとめたものである。
まず
２つの曲線 ｙ＝ｓｉｎ(ｃｏｓ ｘ) と ｙ＝ｃｏｓ(ｓｉｎ ｘ) は、直線 ｘ＝ π に関して線対称
であることを示す。
実際に、 ｓｉｎ(ｃｏｓ （π＋ｘ))＝ｓｉｎ(－ｃｏｓ ｘ)＝－ｓｉｎ(ｃｏｓ ｘ)
ｓｉｎ(ｃｏｓ （π－ｘ))＝ｓｉｎ(－ｃｏｓ ｘ)＝－ｓｉｎ(ｃｏｓ ｘ)
よって、 ｓｉｎ(ｃｏｓ （π＋ｘ))＝ｓｉｎ(ｃｏｓ （π－ｘ)) より、成り立つ。
同様に、 ｃｏｓ(ｓｉｎ （π＋ｘ))＝ｃｏｓ(－ｓｉｎ ｘ)＝ｃｏｓ(ｓｉｎ ｘ)
ｃｏｓ(ｓｉｎ （π－ｘ))＝ｃｏｓ(ｓｉｎ ｘ)
よって、 ｃｏｓ(ｓｉｎ （π＋ｘ))＝ｃｏｓ(ｓｉｎ （π－ｘ)) より、成り立つ。
また、 ｙ＝ｓｉｎ(ｃｏｓ ｘ) 、ｙ＝ｃｏｓ(ｓｉｎ ｘ) は、それぞれ周期 ２π、π の周期関数なので、
考える ｘ の範囲として、 ０ ≦ ｘ ≦ π としても一般性を失わない。
まず、 ０ ≦ ｘ ＜ π/２ のとき、 ｙ＝ｃｏｓ ｘ は単調減少で、 ｘ ≧ ｓｉｎ ｘ より、
ｃｏｓ ｘ ≦ ｃｏｓ（ｓｉｎ ｘ） すなわち、 ｃｏｓ（ｓｉｎ ｘ）≧ ｃｏｓ ｘ
また、 ｃｏｓ ｘ ＞ ０ なので、 ｃｏｓ ｘ ＞ ｓｉｎ （ｃｏｓ ｘ）
上記の２つの不等式より、 ｃｏｓ（ｓｉｎ ｘ）＞ ｓｉｎ （ｃｏｓ ｘ） が成り立つ。
次に、 π/２ ≦ ｘ ≦ π のとき、 －π/２ ＜ ｃｏｓ ｘ ≦ ０ なので、ｓｉｎ （ｃｏｓ ｘ） ≦ ０
一方、 ０ ≦ ｓｉｎ ｘ ＜ π/２ なので、 ｃｏｓ（ｓｉｎ ｘ）＞ ０ が成り立つ。
上記の２つの不等式より、 ｃｏｓ（ｓｉｎ ｘ）＞ ｓｉｎ （ｃｏｓ ｘ） が成り立つ。
以上から、０ ≦ ｘ ≦ π のとき、 ｃｏｓ（ｓｉｎ ｘ）＞ ｓｉｎ （ｃｏｓ ｘ） が成り立ち、従って、
全ての実数 ｘ に対して、 ｃｏｓ（ｓｉｎ ｘ）＞ ｓｉｎ （ｃｏｓ ｘ）
が成り立つ。
（コメント） 今まであまり気にとめなかった不等式「 ｘ ≧ ０ のとき、 ｘ ≧ ｓｉｎ ｘ 」の力
強いパワーに思わずひれ伏しました！このような機会を与えていただいたらす
かるさんと質問者のポルテさんに感謝いたします。
（追記） 平成１８年３月１日、当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、ＨＮ「ぽるて」さんから久々
の書き込みがあった。受験も終わってあとは合格発表を待つ…！だけという時間の
中で、上記の別解(？)に繋がりそうなものを発見されたとのことである。
ここでは、ぽるてさんの発見された別解を紹介したいと思う。
－π/２ ＜ ｕ ＜ π/２ 、－π/２ ＜ ｖ ＜ π/２ のとき、 ｓｉｎ ｕ ＜ ｃｏｓ ｖ を満たす点
（ ｕ ， ｖ ） の存在範囲を求める。
ｃｏｓ ｖ －ｓｉｎ ｕ ＝ ｃｏｓ ｖ －ｃｏｓ （π/２－ｕ）
＝－２ｓｉｎ｛（π/２＋ｖ－ｕ）/２｝・ｓｉｎ｛（ｖ＋ｕ－π/２）/２｝
＝２ｓｉｎ｛（π/２＋ｖ－ｕ）/２｝・ｓｉｎ｛（π/２－ｖ－ｕ）/２｝＞０
よって、 ｓｉｎ｛（π/２＋ｖ－ｕ）/２｝＞０ かつ ｓｉｎ｛（π/２－ｖ－ｕ）/２｝＞０
または、
ｓｉｎ｛（π/２＋ｖ－ｕ）/２｝＜０ かつ ｓｉｎ｛（π/２－ｖ－ｕ）/２｝＜０
ここで、 －π/２ ＜ ｕ ＜ π/２ 、－π/２ ＜ ｖ ＜ π/２ に注意して、
－π/４＜（π/２＋ｖ－ｕ）/２＜３π/４
－π/４＜（π/２－ｖ－ｕ）/２＜３π/４
なので、 ０＜（π/２＋ｖ－ｕ）/２＜３π/４ かつ ０＜（π/２－ｖ－ｕ）/２＜３π/４
または、 －π/４＜（π/２＋ｖ－ｕ）/２＜０ かつ －π/４＜（π/２－ｖ－ｕ）/２＜０
よって、 ０＜π/２＋ｖ－ｕ＜３π/２ かつ ０＜π/２－ｖ－ｕ＜３π/２
または、 －π/２＜π/２＋ｖ－ｕ＜０ かつ －π/２＜π/２－ｖ－ｕ＜０
すなわち、 －π/２＜ｖ－ｕ＜π かつ －π＜ｖ＋ｕ＜π/２
または、 －π＜ｖ－ｕ＜－π/２ かつ π/２＜ｖ＋ｕ＜π
以上から、 ｓｉｎ ｕ ＜ ｃｏｓ ｖ を満たす点（ ｕ ， ｖ ） の存在範囲は、
ただし、境界線は含まない。
このとき、単位円周上の点（ｃｏｓ ｘ ，ｓｉｎ ｘ ）は、上記の領域内にあるので、
ｓｉｎ （ｃｏｓ ｘ）＜ｃｏｓ（ｓｉｎ ｘ）
が成り立つ。
（コメント） ぽるてさん、証明がスッキリですね！このような計算を高校時代にやらされたの
を思い出しました。ぽるてさん、大学受かるといいね！ぽるてさんに、謝謝！
（追記） 平成２０年８月１４日付け
冒頭で、「 θ≧０ のとき、 ｓｉｎθ ≦ θ 」が成り立つことを証明したが、さらに詳しく
０≦θ＜π/２ のとき、 ｓｉｎθ ≦ θ ≦ ｔａｎθ
が成り立つことは数学Ⅲの教科書に必ず紹介されている公式である。この不等式を用いて、
という重要公式が証明されるわけだが、最近、この不等式を有効に活用する問題に遭遇し
たので、備忘録として残したいと思う。
問 題
左図において、 ｈ → ∞ のとき、
はどんな値に近づくか？
（コメント） ｈ → ∞ のとき、 α → ０ 、 β → ０ なので、求めるものは不定形の極限
値である。 どんな値に近づくのか、大いに興味が引き起こされますね！
（解） ｔａｎ α ＝ １/ｈ 、 ｔａｎ （α＋β） ＝ ４/ｈ なので、
より、
ここで、
であり、 ０ ＜ α ， β ＜ π/２ において、
なので、
が成り立つ。
このとき、
なので、はさみうちの原理により、
（終）上記の解では、不等式を意識して極限値を求めているが、もちろん直接的に求める方法
もある。
（別解） ｔａｎ α ＝ １/ｈ 、 ｔａｎ （α＋β） ＝ ４/ｈ なので、
より、
ここで、
よって、 ｈ → ∞ のとき、 α → ０ 、 β → ０ なので、
（終）（コメント） この結果より、 α ， β は同程度の無限小であることが分かりますね！
図から、当たり前かな？
（追記） 平成２１年１月９日付け
上記の計算で、 ０ ＜ α ， β ＜ π/２ において、
が成り立つことから、不等式
を利用したが、最近、 ０ ＜ β ＜ α ＜ π/２ において、 不等式
が成り立つことに気がついた。
（証明） 両辺の対数をとって、
ｌｏｇ（ｓｉｎα）－ｌｏｇ（ｓｉｎβ）＜ｌｏｇ（α）－ｌｏｇ（β）＜ｌｏｇ（ｔａｎα）－ｌｏｇ（ｔａｎβ）
が成り立つことを示せばよい。
０ ＜ β ＜ α ＜ π/２ において、Ｃａｕｃｈｙ の平均値の定理より、
となる ｍ 、ｎ （ β ＜ ｍ ， ｎ ＜ α ）が存在する。
ここで、 Ｆ（ｍ）＝ｓｉｎ ｍ－ｍ・ｃｏｓ ｍ とおくと、 ０ ＜ ｍ ＜ π/２ において、
Ｆ’（ｍ）＝ｃｏｓ ｍ－ｃｏｓ ｍ＋ｍ・ｓｉｎ ｍ＝ｍ・ｓｉｎ ｍ＞０
より、関数 Ｆ（ｍ） は単調に増加し、 Ｆ（０）＝０ なので、Ｆ（ｍ）＞０ となる。
よって、
同様にして、 Ｇ（ｎ）＝ｎ－ｓｉｎ ｎ・ｃｏｓ ｎ とおくと、 ０ ＜ ｎ＜ π/２ において、
Ｇ’（ｎ）＝１－ｃｏｓ2 ｎ＋ｓｉｎ2 ｎ＝２ｓｉｎ2 ｎ＞０
より、関数 Ｇ（ｎ） は単調に増加し、 Ｇ（０）＝０ なので、Ｇ（ｎ）＞０ となる。
よって、
以上から、不等式
ｌｏｇ（ｓｉｎα）－ｌｏｇ（ｓｉｎβ）＜ｌｏｇ（α）－ｌｏｇ（β）＜ｌｏｇ（ｔａｎα）－ｌｏｇ（ｔａｎβ）
の成り立つことが示された。 （証終）
（コメント） ０ ＜ β ＜ α ＜ π/２ において、
から、
も示されるなんて、何か不思議な感覚ですね！
この不等式を利用しても、求める解は上記とほとんど同じで変わり映えしないが．．．。