辺と角の美しい関係�U　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　このページは、前作「辺と角の美しい関係」をさらに拡充させたものである。

下図の凸四角形（辺８と辺５＋３のなす角は、１８０°より若干小さい！・・・４°くらい）の中
に、こんな美しい辺と角の関係があるとは、驚きです。

　　

　　　ワープロソフトの作図機能を使用しているため、多少、図形はデフォルメされています。

（ 平成１８年９月２４日なみうさぎ様から、図の誤りのご指摘をいただきました。らすかる様にご検証いただき、
　確かに図の誤りが確認されました。図は既に修正済み！です。小さい三角形をブロックのように積み重ねて
　二等辺三角形らしきものを作ったのですが、十分な確認をしないまま、そのままにしていました。直線だろう
　と思っていたところが実は「くの字」に曲がっていたとは．．．。ちょっと、うっかりしました！
　　図の誤りをご指摘いただいた「なみうさぎ」様、ご検証いただいた「らすかる」様に感謝いたします。）

（追記）　角が６０度または１２０度になるような辺の組み合わせは、上記以外にも、もちろん
　　　　　たくさん存在する。

　　このことについて、栃木県の君島　巌先生が詳しく調べられている。

　６０度の角の場合

　６０度の対辺の長さを ｚ とし、残りの二辺の長さを ｘ 、ｙ とすると、余弦定理から、

　　　　　　ｚ²＝ｘ²＋ｙ²−ｘｙ

が成り立つ。所要の結果を得るためには、この方程式の自然数解を求めればよい。

　そのために、　ｘ＝ｚ−α　、ｙ＝ｚ−β　とおく。
　　　　　　（君島先生も指摘されているが、上記の方程式を解くためには、このような置き方が有効らしい。）
よって、
　　　　　　ｚ²＝（ｚ−α）²＋（ｚ−β）²−（ｚ−α)(ｚ−β）
より、
　　　　　　（α＋β）ｚ＝α²＋β²−αβ＝（α＋β）²−３αβ
となる。

　後は、整数 α、βを、ｚ が自然数（もちろん、ｘ、ｙ も自然数）になるよう適宜選んであげれば
よい。

　α＋β＝１　のとき、α＝ｋ　（　ｋ は整数 ）とおくと、β＝１−ｋ　で、

　　　　ｚ＝１−３ｋ（１−ｋ）＝３ｋ²−３ｋ＋１　、ｘ＝３ｋ²−４ｋ＋１　、ｙ＝３ｋ²−２ｋ

　　この場合、たとえば、（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝（ ５ ， ８ ， ７ ）、（ １６ ， ２１ ， １９ ）、・・・

　α＋β＝−１　のときは、自然数解は存在しない。

　α＋β＝２　のとき、α＝ｋ　（　ｋ は整数 ）とおくと、β＝２−ｋ　で、

　　　　ｚ＝（４−３ｋ（２−ｋ））/２＝（３ｋ²−６ｋ＋４）/２　、

　　　　ｘ＝（３ｋ²−８ｋ＋４）/２　、ｙ＝（３ｋ²−４ｋ）/２

　　この場合、たとえば、（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝（ １０ ， １６ ， １４ ）、・・・

　α＋β＝−２　のときは、自然数解は存在しない。

　α＋β＝３　のとき、α＝ｋ　（　ｋ は整数 ）とおくと、β＝３−ｋ　で、

　　　　ｚ＝３−ｋ（３−ｋ）＝ｋ²−３ｋ＋３　、ｘ＝ｋ²−４ｋ＋３　、ｙ＝ｋ²−２ｋ

　　この場合、たとえば、（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝（ ３ ， ８ ， ７ ）、（ ８ ， １５ ， １３ ）、・・・

（ この結果から、冒頭の図の誤りが発見された。図は既に修正済み！このページが初めてアップロードされた
　のは、平成１３年１０月２９日なので、丸々３年間誤ったままであった。誠に申し訳ないです．．．m(_ _)m　）

　α＋β＝−３　のときは、自然数解は存在しない。

以下同様にして、α＋β が整数の場合を考えれば、無数に解を得ることが出来る。


　１２０度の角の場合　・・・　６０度の場合と同様にして求められる。

　１２０度の対辺の長さを ｚ とし、残りの二辺の長さを ｘ 、ｙ とすると、余弦定理から、

　　　　　　ｚ²＝ｘ²＋ｙ²＋ｘｙ

が成り立つ。所要の結果を得るためには、この方程式の自然数解を求めればよい。

　そのために、　ｘ＝ｚ−α　、ｙ＝β−ｚ　とおく。
　　　　　　（後で、ｚ² の項を消去するために、ｙ＝ｚ−β ではなく、ｙ＝β−ｚ と置いていることに注意！）
よって、
　　　　　　ｚ²＝（ｚ−α）²＋（β−ｚ）²＋（ｚ−α)(β−ｚ）
より、
　　　　　　（α＋β）ｚ＝α²＋β²−αβ＝（α＋β）²−３αβ
となる。

　後は、整数 α、βを、ｚ が自然数（もちろん、ｘ、ｙ も自然数）になるよう適宜選んであげれば
よい。

　α＋β＝１　のとき、α＝ｋ　（　ｋ は整数 ）とおくと、β＝１−ｋ　で、

　　　　ｚ＝１−３ｋ（１−ｋ）＝３ｋ²−３ｋ＋１　、ｘ＝３ｋ²−４ｋ＋１　、ｙ＝−３ｋ²＋２ｋ

　　この場合、自然数解は存在しない。

　以下同様にして、

　　　α＋β＝−１、±２、±３、±４、±５、±６、±７、±８、±９、±１０、±１１　のときは、

　　自然数解は存在しない。（ ← ここの確認作業は少し辛かったです！）

　α＋β＝１２　のとき、α＝ｋ　（　ｋ は整数 ）とおくと、β＝１２−ｋ　で、

　　　　ｚ＝（１４４−３ｋ（１２−ｋ））/１２＝（ｋ²−１２ｋ＋４８）/４　、

　　　　ｘ＝（ｋ²−１６ｋ＋４８）/４　、ｙ＝（−ｋ²＋８ｋ）/４

　　　ここで、 ｙ ＞０　より、 ｋ＝１、２、３、４、５、６、７　であるが、 ｘ 、 ｙ 、ｚ がともに自然

　　数となるのは、ｋ＝２　の場合のみで、このとき、（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝（ ５ ， ３ ， ７ ）

以下同様にして、α＋β が整数の場合を考えることにより解を得ることが出来る。


（コメント）　上図からも分かるように、（ ｘ ， ｙ ， ｚ ）＝（ ８ ， ７ ， １３ ）も解になるが、これ

　　　　　　は、α＋β＝２５　の場合に相当する。６０度の場合に比べて、１２０度の場合は、

　　　　　　解の検出の能率が非常に悪い。もっと別な手立てはないものだろうか？


（参考文献：　君島　巌　著　　ｚ²＝ｘ²＋ｙ²±ｘｙ　の自然数解　（数研通信（数研出版）））


（追記）　平成１８年９月２５日付け

　当ＨＰがいつもお世話になっているらすかるさんから、

　　１２０度の場合は、６０度の場合から得られる！

とのご指摘をいただきました。

　「解の検出の能率が非常に悪い」というのは、「方程式を解いても、適する解がなかなか
見つからない」という意味ですが、図で考えた方が、この場合はよいようです。

△ＡＢＣで、Ａ＝６０°、ＡＢ＜ＡＣ　のとき、辺ＡＣ上に 　　ＡＢ＝ＡＤとなるように点Ｄをとると、 　　　　　　∠ＢＤＣ＝１２０° 　　となる。

　このことから、６０度の場合に得られた結果を用いると、１２０度の場合も同時に得られる
ことが分かる。逆に、１２０度の三角形に正三角形をくっつければ（例えば、上図の△ＢＤＣ
に対して△ＡＢＤを追加）、６０度の三角形が得られる。ここで、辺の長さを自然数と限定す
れば、１２０度の三角形は二等辺三角形にはならないので、１２０度の三角形から６０度の
三角形は２個作られる。（ＢＤでくっつく場合とＣＤでくっつく場合の２通り！）

　らすかるさんが作られた表を若干補足して、下表を得る。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ただし、 ｘ ＜ ｙ　で、６０°に対する辺が　ｚ　とする。）

（コメント）　１２０度の場合は自動的に６０度の場合から生成されると知って安心しました。
　　　　　　らすかるさんに感謝いたします。


（追記）　平成２２年１０月２６日付け

　１２０度の対辺の長さを ｚ とし、残りの二辺の長さを ｘ 、ｙ とすると、余弦定理から、

　　　　　　ｚ²＝ｘ²＋ｙ²＋ｘｙ

が成り立つ。この整数解が、互いに素な自然数 ｍ、ｎ を用いて

　　　　　ｘ＝ｍ²−ｎ²　、　ｙ＝２ｍｎ＋ｎ²　、　ｚ＝ｍ²＋ｍｎ＋ｎ²

と書けるということを最近知ることができた。日本大学文理学部数学科の渡辺敬一先生に
感謝します。

　アプローチの方法は、「ピタゴラス数の発見」と同様である。

（証明）　条件を満たす３つの数を求めることは、楕円 ａ²＋ｂ²＋ａｂ＝１ 上の有理点を求める

　　　　ことに等しい。点（−１，０）を通る傾き ｋ の直線の方程式は、ｂ＝ｋ(ａ＋１) と書ける。

　　　　　この直線と楕円との交点を求めると、

　　　　　　　　ａ＝（１−ｋ²）/（１＋ｋ＋ｋ²）　、　ｂ＝（２ｋ＋ｋ²）/（１＋ｋ＋ｋ²）

　　　　である。このとき、ｋ＝ｎ/ｍ　（ ｍ、ｎ は互いに素な自然数）を代入して、

　　　　　　　　ｘ＝ｍ²−ｎ²　、　ｙ＝２ｍｎ＋ｎ²　、　ｚ＝ｍ²＋ｍｎ＋ｎ²

　　　　と書けることが分かる。　（証終）

　この公式を用いると、頂角の１つが１２０度である三角形が量産できる。