大相撲千秋楽で同点決勝になった場合、よく行われる試合形
式が「巴戦」である。必ず決着をつけようという日本独特の文化
の賜物であろう。サッカーＪリーグでも、欧州にはない独自の「延
長Ｖゴール方式」というものを編み出したし、甲子園の高校野球
でも、延長１８回で決着がつかなければ翌日再試合という、高校
生にとって体力的に厳しいシステムになっている。私たちの記憶
に残る名場面も、なぜかそういう規定外でのものが多い。日本の
文化にどっぷり浸かっている証しでもある。その点、ラグビーは、
ノーサイドとともに、同点優勝がありうる。正規の試合の中で、決
着がつかなければ、両者優勝という考え方は、清々しい。Ｊリーグ
では来季から延長Ｖゴール方式がなくなるようだ。高校野球でも、
将来の大器を潰さないためにも、９回までの勝負に徹するべきだ
と思う。
このページでは、「巴戦」の数理について調べ、その不平等さを
記録として残しておきたい。
３人 Ａ、Ｂ、Ｃ による勝ち抜き戦（巴戦）は、上図のような対戦方式により行われる。初めて
２連勝する人が出現するまで、上記の対戦は続く。
Ａ、Ｂ、Ｃ の実力は互角とする。このとき、それぞれの優勝する確率は、実は等しくない。実
力が互角であっても、最初に対戦する２人（ＡとＢ）の方が優勝する確率は高い。これは、注目
すべき事実である。従って、Ｃに入った人は、多少不利であることを自覚しなければならない。
このような不平等な試合形式で優勝者を決めるというやり方は、是非、止めた方がよい。
Ａ、Ｂ、Ｃ の優勝する確率を、それぞれ P(Ａ)、P(Ｂ)、P(Ｃ) とおく。対戦方式の特性から、
P(Ａ)＝P(Ｂ) で、P(Ｃ)＝１− P(Ａ)−P(Ｂ)
最初の対戦で Ａ が勝つ事象を、ａ とすると、
P(Ａ)＝P(ａ)Pａ(Ａ)＋P(ａｃ)Pａｃ(Ａ)＝(1/2)Pａ(Ａ)＋(1/2)Pａｃ(Ａ)
である。ただし、ａｃ は ａ の余事象とする。
優勝が決まるまでは毎回、対戦終了後、３人は次の３つのタイプのいずれかに分類される。
Ｘ ： 直前回の対戦で勝った人
Ｙ ： 直前回の対戦で負けた人
Ｚ ： 直前回の対戦で控えだった人
今、Ｘ、Ｙ、Ｚの人が優勝する事象を、それぞれ E、F、G とする。
毎回 Ｘ と Z が対戦する。X が勝つ事象を、ｘ とする。このとき、
P(E)=P(x)Px(E)＋P(xｃ)Pxｃ(E)=(1/2)Px(E)＋(1/2)Pxｃ(E)
P(F)=P(x)Px(F)＋P(xｃ)Pxｃ(F)=(1/2)Px(F)＋(1/2)Pxｃ(F)
P(G)=P(x)Px(G)＋P(xｃ)Pxｃ(G)=(1/2)Px(G)＋(1/2)Pxｃ(G)
ここで、Xは直前回の対戦で勝っているので、Px(E)=1、Px(F)=Px(G)=0 が成り立つ。
他方、Ｘが負けたという場合（事象としては、xｃ）において、ＸはＹに、ＹはＺに、ＺはＸに立場が
変わるので、
Pxｃ(E)=P(F)、 Pxｃ(F)=P(G)、 Pxｃ(G)=P(E)
が成り立つ。これらを、上記の３式に代入して、
P(E)=(1/2)＋(1/2)P(F)
P(F)=(1/2)P(G)
P(G)=(1/2)P(E)
よって、P(E)=4/7、P(F)=1/7、P(G)=2/7 となる。
ところで、E、F の定義から、明らかに、Pａ(Ａ)=P(E)、Pａｃ(Ａ)=P(F) が成り立つので、
P(Ａ)=(1/2)P(E)＋(1/2)P(F)=5/14
同様にして、 P(Ｂ)=5/14、 P(Ｃ)=4/14 が成り立つ。
（別解） 今、機会があって上記解答を眺めていると、その煩雑さに気が滅入る。決して
難しいことを述べてはいないが、一般の方向けとはいい難い。次のように解答を
整理してみた。
Ａ、Ｂ、Ｃ の３人のうちの２人甲と乙が対戦し、甲が勝ったときに乙が優勝する
確率をＰとおく。
まず、Ａが優勝する確率は、
ＢとＣに勝つとき ・・・・・ １/２×１/２＝１/４
Ｂに勝ってＣに負けるとき ・・・・・ １/２×１/２×Ｐ＝Ｐ/４
Ｂに負けるとき ・・・・・ １/２×Ｐ＝Ｐ/２
より、 １/４＋Ｐ/４＋Ｐ/２＝１/４＋３Ｐ/４
Ｂが優勝する確率は、Ａと同じで、１/４＋３Ｐ/４
Ｃが優勝する確率は、
ＡとＢに勝つとき ・・・・・ １/２×１/２＝１/４
ＡとＢのどちらかに勝って、他方に負けるとき ・・・・・ １/２×１/２×Ｐ＝Ｐ/４
より、 １/４＋Ｐ/４
したがって、（１/４＋３Ｐ/４）＋（１/４＋３Ｐ/４）＋（１/４＋Ｐ/４）＝１ より、
７Ｐ/４＝１/４ すなわち、 Ｐ＝１/７
これから Ａ、Ｂ、Ｃ が優勝する確率は、それぞれ ５/１４、５/１４、４/１４ となる。
（別解証明 終）
私の記憶するところによれば、この「巴戦」を題材に出題された大学入試問題は、昭和６１
年度入試の神戸大学（理系）が最初ではないだろうか。次のような問題であった。
Ａ、Ｂ、Ｃ の３人で勝ち抜き戦を行う。３人の戦力は同等である。第１回戦で、ＡとＢが対戦
し、その勝者が第２回戦でＣと対戦する。もし、Ｃが負ければ、ＡかＢが連勝したことになり、
優勝が決まるものとする。もし、Ｃが勝てば、第１回戦の敗者が第３回戦でＣと対戦する。以
下これを繰り返し、誰かが２連勝したところで優勝が決まるものとする。このとき、次の各問
に答えよ。
（１）第１回戦でＢが勝ち、第２回戦でＣが勝ち、第３回戦ではＡが勝った場合を、ＢＣＡ のよう
に表すことにする。このような表し方で、第１回戦から第７回戦までにＡが優勝する場合を
全て書け。
（２）第ｎ回線までに優勝が決まらない確率を求めよ。
（３）第ｎ回線までに、Ｃが優勝する確率を Ｐｎ とするとき、ｌｉｍ Ｐｎ の値を求めよ。
問題の難易度レベルとしては、標準程度である。
答は、（１） AA、ACBAA、BCAA、BCABCAA の４通り
（２） （１/２）ｎ−１
（３） Ｐ３ｋ＝Ｐ３ｋ＋１＝Ｐ３ｋ＋２＝（２/７)(１−(１/８)ｎ) より、ｌｉｍ Ｐｎ＝２/７
実際の計算は、読者のための練習問題として残しておこう。
（参考文献：玉置光司 著 基本確率（牧野書店））