無限級数の活用　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　戻る

　「無限級数」とは、直感的には「無限個のものを限りなく加える」ことをいう。

　このようなアイデアは古くから既にあり、Ｂ．Ｃ．３世紀頃、アルキメデスが、放物線と直線
で囲まれた部分の面積を、無限個の三角形の面積の和として求めたという話はよく知られ
ている。

　しかし、近代に至るまで、その「無限」というものは、数学者達によって敬遠されていた。

　「無限」というものを、数学の概念として初めてとらえたのは、カントール(1845〜1918)で
ある。

　デデキントやカントールらの研究によって、実数の理論ができ、無限級数を含めた微分
積分学が確固たるものになったのは、１９世紀も後半になってからのことである。

　このページでは、解析学の基礎ともいえる無限級数についていろいろ調べようと思う。

　数列 ｛ ａｎ ｝ に対して、第 ｎ 部分和　Ｓｎ＝ａ1＋ａ2＋ａ3＋・・・＋ａｎ　とおく。

数列 ｛ Ｓｎ ｝ が収束するとき、無限級数 　 　は収束するといい、
　　　　　　 ＝Ｓ　ならば、 ＝Ｓ
である。　Ｓを、無限級数の和という。

　級数が収束しないとき、発散するという。

例　無限級数
　　　　　　　　　　

　の収束・発散を調べ、収束するときは和を求めよ。

　　第 ｎ 部分和　Ｓｎ＝１＋1/2＋1/4＋・・・＋1/2ｎ-1＝２(１−(1/2)ｎ)　なので、
　数列 ｛ Ｓｎ ｝ は収束し、ｎ → ∞　のとき、Ｓｎ → ２　である。
　　したがって、無限級数は収束し、その和は、２ である。

　（注意）　Ｓｎ＋1/2ｎ-1　を順次計算して、Ｓｎ＋1/2ｎ-1＝２　を示してもよい。

　上記のことは、次のように図式化すれば、極限の計算を知らなくても納得できるだろう。

　　　　　　　　　

　上記の無限級数は、無限等比級数（幾何級数）といわれる。

定理　初項 ａ、公比 ｒ の無限等比級数　ａ＋ａｒ＋ａｒ2＋・・・＋ａｒｎ-1＋・・・　は、

　　　　　　ａ＝０　または　−１＜ｒ＜１　のとき、収束し、

　　　　その和は、ａ/(１−ｒ)　で与えられる。

例　無限級数（調和級数）
　　　　　　　　　　
　　は発散する。

　この証明は種々考えられるが、私個人的には次の証明が最も簡明だと思う。

　　左図において、第 ｎ 部分和

　　　　　Ｓｎ＝１＋1/2＋1/3＋・・・＋1/n

　　を、柱状の長方形の面積の和と考える。

　　明らかに、
　　　　　　　　　

　　が成り立つ。　

　　　よって、Ｓｎ＞ｌｏｇ(ｎ＋１)　となり、

　　数列 ｛ Ｓｎ ｝ は発散する。


　これに対して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ｚｋ４３」さんが、斬新な証明法に遭
遇されたとのことである。（平成２１年７月１４日付け）

　まず、　１ より大きい自然数 ｎ に対して、

　　　　　　　　１/ｎ＋１/（ｎ＋１）＋１/（ｎ＋２）＋・・・＋１/ｎ2＞１

が成り立つ。

　実際に、　ｎ＝２　のとき、

　　　１/ｎ＋１/（ｎ＋１）＋１/（ｎ＋２）＋・・・＋１/ｎ2＝１/２＋１/３＋１/４＝１３/１２＞１

　が成り立つ。さらに、　ｎ≧３のとき、

　　　１/ｎ＋１/（ｎ＋１）＋１/（ｎ＋２）＋・・・＋１/ｎ2

　　

　よって、不等式は成り立つ。　このとき、

　　１＋１/２＋１/３＋１/４＋１/５＋１/６＋１/７＋１/８＋１/９＋・・・・・・・
＝１＋（１/２＋１/３＋１/４）＋（１/５＋１/６＋・・・＋１/２５）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋（１/２６＋１/２７＋・・・＋１/６７６）＋・・・・
＞１＋１＋１＋１＋・・・

　から、調和級数が発散することが分かる。

（コメント）　この解法は、

　　　　　　１＋１/２＋１/３＋１/４＋１/５＋１/６＋１/７＋１/８＋１/９＋・・・・・・・
　　　　＝１＋１/２＋（１/３＋１/４）＋（１/５＋１/６＋１/７＋１/８）＋・・・・・・・
　　　　＞１＋１/２＋（１/４＋１/４）＋（１/８＋１/８＋１/８＋１/８）＋・・・・・・・
　　　　＝１＋１/２＋１/２＋１/２＋・・・・・・・

　　から発散を示す方法と同じ匂いがしますね！ｚｋ４３さんに感謝します。


　上記のような無限級数を一般化して、ゼータ関数 ζ（ｓ）が定義される。

　　　　　　　　　　　　

定理　ζ（ｓ） は、ｓ＞１　のとき収束し、ｓ≦１　のとき発散する。

　証明は、上記で用いたものと同様な関数　ｙ＝１/ｘｓ　について同様な考察を行えばよい。

したがって、ζ（ｓ） が ｓ の関数として意味をもつのは、ｓ＞１　のときである。

　無限級数に対して、その収束・発散を調べることは比較的容易である。
　（コーシーの判定法、ダランベールの判定法などが知られている。）

　これに対して、無限級数が収束することが分かっても、実際にその和を求めることは非常
に難しい。

　オイラーは、苦心の末にようやく、１７３５年ごろ　 ζ（２）＝(1/6)π2　であることを導いた。

さらに、　　ζ（４）＝(1/90)π4　　、　ζ（６）＝(1/945)π6　　であることも示している。

　ゼータ関数が、円周率と関連づいたわけで、とても画期的な式となっている。

（コメント：　円周率 π と関連を持つ無限級数の発見は、オイラーが最初ではない。
　　　　　　１６７３年に、ライプニッツが、次の式を発見している。

　　　　　　　　　　　

　　　　　　また、この式は、ライプニッツが発見する前に、グレゴリーによって発見されてい
　　　　　　たともいわれる。それより古く、１４００年頃のインドの数学者によっても見出され
　　　　　　ていたらしい。

　　ζ（２）＝(1/6)π2　にしろ、上記の級数にしろ、円周率とは無関係とも思える無限級数
　に突如、円周率が関係しているという事実は、とても画期的なことであるが、実際に、上
　記の級数の最初の何項かをとって円周率の近似値をもとめるという実用的な面では、上
　記の無限級数の何れもが無力である。収束が著しく緩慢で遅いのである。円周率の近似
　値の計算には、別の工夫がなされているようだ。）

　また、ゼータ関数は、素数とも関係づけられる。
　　　　　　　 　　　ただし、ｐ は全ての素数を動く。　

　上記において、調和級数は発散したが、実はそのことから、素数が無限に、しかも密に
分布しているということが、上記の式を用いて示すこともできる。

　これ以外にも、ゼータ関数は、いろいろな数論的な意味をもっていて、その奥は深い。

　　（追記）　平成２１年１１月２０日付け

　　　　１１月１５日の夜９時からＮＨＫ総合ＴＶで、

　　　　　　　　　「魔性の難問〜リーマン予想・天才たちの闘い〜」

　　　が放映された。NHKでは過去に、「フェルマーの予想の解決」や「ポアンカレ予想の解
　　　決」などについてコンパクトに分かりやすく説明された番組を提供してきたが、今回は、
　　　まだ未解決ということもあり、当代の優秀な数学者が果敢に挑戦するも全て跳ね返さ
　　　れ、悲壮感すら漂う内容であった。中には精神が病んでしまった方もおられるというこ
　　　とでいたたまれない気持ちになった。

　　　　ルイ・ド・ブランジュ博士によると、リーマン予想は「人類にとって最も難しく、最も重要
　　　な定理」だという。

　　　　リーマン予想（１８５９年）とは、

　　　　　ζ（ｓ） の非自明零点は全て直線 Ｒｅ（ｓ）＝1/2 上にある

　　　というものである。ただし、このζ（ｓ） は上記で定義したものを複素平面に解析接続し
　　　たものとする。ｓ＝−2、−４、・・・　は自明零点と言われる。


　これ以上ゼータ関数に立ち入ることは、当ＨＰのレベルをはるかに越えてしまうので、詳
細は別のページに譲ることにする。ここでは、このページのそもそもの目標：

　　　　『　フーリエ級数を用いて、ζ（２）＝(1/6)π2　を示す　』

に移りたいと思う。

　通常、ζ（２）＝(1/6)π2　であることは、無限乗積を用いて示される。（→　参考）

　私個人的には、無限乗積による証明は、あまりしっくりこない。最近、フーリエ級数を用
いる簡明な証明を知りえたので、紹介したいと思う。

フーリエ級数（Ｆｏｕｒｉｅ　Ｓｅｒｉｅｓ）

　周期 ２π の連続関数 Ｆ(Ｘ) に対して、フーリエ係数 ａｎ　、ｂｎ を、次式により定義する。

　　　　　

　　　　　

　このとき、三角級数

　　　　　　　　　　

を、関数 Ｆ(Ｘ) のフーリエ級数という。

　フランスの数学者フーリエは、「熱の解析的理論」（１８２２年）において、関数 Ｆ(Ｘ) がフー
リエ級数に展開できることを述べ、物体内の熱の伝導をはじめ、さまざまな問題の研究に
応用した。

　そもそも三角級数の研究は、１８世紀半ばのダニエル・ベルヌーイが始まりである。その
頃の三角級数論は様々な困難を抱えていた。当時の数学者達は、その理論の厳密化に
取り組んだ。

　１９世紀後半、カントールが集合論の研究を始めるきっかけとなったのも、実は、この理
論の厳密化に取り組んでのことらしい。

　今では、ディリクレ、リーマン、ルベーグらの研究により、この理論は厳密化され、解析学
および応用方面では重要な手法となっている。

　さて、関数 Ｆ(Ｘ) は連続なので、フーリエ係数は存在するが、果たして、フーリエ級数は
関数 Ｆ(Ｘ) に収束するであろうか？

　このことに関して、次の定理が知られている。

定理（ディリクレ）

　　関数 Ｆ(Ｘ) は周期 ２π をもち、有界とする。また、閉区間 ［−π ， π ］ を適当
　な有限個の区間に分割し、各々で関数 Ｆ(Ｘ) は単調とする。

　　このとき、フーリエ級数は収束し、その和は、　（1/2）(Ｆ(Ｘ＋０)＋Ｆ(Ｘ−０))

　　さらに、関数 Ｆ(Ｘ) が ［−π ， π ］ で連続ならば、フーリエ級数は一様収束し、
　その和は、 Ｆ(Ｘ) に等しい。

　より一般的な有界変動な関数に対しては、次の定理が成り立つ。

定理（ディリクレ・ジョルダン）　

　　関数 Ｆ(Ｘ) は周期 ２π をもち、閉区間 ［−π ， π ］ において導関数が存在し、
　しかも導関数が連続ならば、フーリエ級数は一様収束し、その和は、 Ｆ(Ｘ) に等し
　い。

　いよいよ、このページの目標に対する準備が整ったようである。

例　ζ（２）＝(1/6)π2　であることを示せ。

　　関数 Ｆ(Ｘ) ＝ Ｘ2　（ −π ≦ Ｘ ≦ π ）を、周期 ２π の周期関数として延長する。

　このとき、
　　　　　　　　

で、さらに、ｎ≧１に対して、虚数単位 ｉ を用いて、

　　　　　　　　
が成り立つ。

　よって、
　　　　　　　　
である。

（関数 Ｆ(Ｘ) は偶関数なので、特別な計算をしなくても、ｂｎ＝０　であることは明らか。）

　したがって、ディクレの定理により、

　　　　　

が成り立つので、上式において、Ｘ＝ π を代入すると、

　　　　　

したがって、ζ（２）＝(1/6)π2　が成り立つ。


　フーリエ級数を用いると、いろいろな無限級数の和が求められる。それは、読者のため
の練習問題に残しておこう。

練習問題　　次の関数に対してフーリエ級数を計算すると、どのような無限級数の和が求
　　　　　　　　められるだろうか？

（１）　関数 Ｆ(Ｘ) ＝ | Ｘ |　（ −π ≦ Ｘ ≦ π ） 　　（Ｈｉｎｔ ： Ｘ＝０　としてみよ。）

（２） 関数
　　　　　　（Ｈｉｎｔ ： Ｘ＝π/２　としてみよ。）


（参考文献：加藤和也・黒川信重・斎藤　毅　著　数論　１　（岩波書店）
　　　　　　　楠　幸男　著　無限級数入門　（朝倉書店）
　　　　　　　外岡慶之助・井出三郎　著　微分積分学　（学術図書出版社）
　　　　　　　俣野　博　著　微分と積分３　（岩波書店））

（追記）　平成２１年６月１４日付け

　上記の計算で、オイラーが苦心して導いたとされる公式　ζ（２）＝(1/6)π2　がフーリエ級
数を用いて比較的簡単に導かれた。

　Ｅｘｃｅｌ さんに計算してもらうと、だいたい　ζ（２）≒１．６４４９３４０６６８４８２３・・・　である。

　ここまで、詳しく値を知らなくても、　ζ（２）＜１．７　くらいは知っていて損はないだろう。

　このことを話題にした問題が、慶應義塾大学　理工（２００４）で出題された。

　　　　

とおくとき、全ての自然数 ｎ に対して、　Ｓｎ＜１．７　であることが次のような巧妙な方法に
より示される。

　数列 ｛ Ｓｎ＋１/ｎ ｝ は単調減少数列である。

　実際に、

　Ｓｎ+1＋１/(ｎ＋１)−（Ｓｎ＋１/ｎ）＝１/（ｎ＋１）2＋１/(ｎ＋１)−１/ｎ＝−１/ｎ（ｎ＋１）2＜０

より、確かに、数列 ｛ Ｓｎ＋１/ｎ ｝ は単調減少数列である。

　よって、　Ｓ3＋１/３＝１．６９４４・・・　で、　ｎ≧３　のとき、　Ｓｎ＋１/ｎ＜Ｓ3＋１/３＜１．７

　　Ｓｎ＜Ｓｎ＋１/ｎ＜１．７　なので、　ｎ≧３　のとき、　Ｓｎ＜１．７　が成り立つ。

　また、数列 ｛ Ｓｎ ｝ は単調増加数列であり、　Ｓ1＝１　、　Ｓ2＝１＋１/４＝１．２５　である。

　以上から、全ての自然数 ｎ に対して、　Ｓｎ＜１．７　が成り立つ。


（コメント）　数列 ｛ Ｓｎ ｝ は単調増加数列であるのに、数列 ｛ Ｓｎ＋１/ｎ ｝ が単調減少数
　　　　　　列になるのは摩訶不思議な関係ですね！驚きました．．． ｆ(^^;) 。