手計算が面白い　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　平方根の計算ができる電卓が、ほぼタダ同然で手に入る世の中にあって、いろいろな数
学的値が実感できない人が増えつつある。

　 の値が把握されていないものだから、底辺、垂辺の長さが、１ と ２ の直角三角形を
書くと、斜辺の長さは、何も考えずに、 と自信満々に答える。相当に、２：１：　の比
をもつ三角形の呪縛にはまっているという感じである。

　 は、２ より小さい数なので、この３辺の組合せでは、決して斜辺の長さとはなり得ない。
小学・中学・高校において、数の値を把握する訓練の必要性を痛感する。

　例えば、中学３年で学習する「分母の有理化」は、数の値を把握するための計算なのであ
り、何も「分母に無理数があると美しくないから」という理由で有理化するわけではないので
ある。

　ここら辺の認識が現在の中学・高校生にはないように感じられる。だから、分母に無理数
を残したままでよいというと、一様に生徒は戸惑いを覚えるようだ。いままで、機械的に分母
の有理化を行ってきたツケだろう。

　みなさんは、次の問にすぐ答えることができるだろうか？

問　 ≒１．７３２　であることを用いて、次の数はおおよそいくら位か？

（１）

（２）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答）　（１）　０．５７７　　（２）　２．３６６

　手計算で平方根、立方根を計算する方法も知られているので、もし興味をもたれたら是
非、挑戦して欲しいと思う。

　このページでは、いろいろな値を手計算で求める方法についてまとめてみたい。

　例　 の値を小数第１位まで正しく求めよ。

　　　（解）　４²＜２３＜５²　で、４＜ ＜５　より、　 ＝４＋α　（０＜α＜１）　とおけ

　　　　　　る。両辺を平方して式を整理すると、　α²＋８α−７＝０ 　という２次方程式が得

　　　　　　られる。このとき、１０α （αの１０倍を考えることにより、αの小数第１位を求める！）を Ｘ

　　　　　　とおく。 α＝Ｘ/１０ を、さきほどの２次方程式に代入して式を整理すると、

Ｘ2＋８０Ｘ−７００＝０ 　Ｆ（Ｘ)＝Ｘ2＋８０Ｘ−７００　とおくと、 　　　　　Ｆ(７)＝−９１＜０、Ｆ(８)＝４＞０ 　したがって、左図より、１０α＝Ｘ＝７．・・・　となるので、 　　α＝０．７・・・　であることが分かる。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　以上から、　 ≒ ４．７・・・　となる。

　この方法を順次続ければ、平方根の値により近い小数が得られる。

　（因みに、電卓を用いれば、 ≒ ４．７９５８３・・・　である。）

　例　 の値を小数第１位まで正しく求めよ。

　　　この値は、関数電卓を用いれば、 ＝０．６３０９２９７４６・・・ である。関数電卓が

　　なくても、小数第１位ぐらいまでは手計算で、いつも求まるようにしておきたいものだ。

　　　（解）　２⁶＜３⁴　より、２＜３^{0.666・・・}　だから、 ＜０．６６６・・・

　　　　　　また、３⁵＜２⁸　より、３^0.625＜２　だから、０．６２５＜

　　　　　　したがって、０．６２５＜ ＜０．６６６・・・ となり、 ≒０．６・・・　であるこ

　　　　　とが分かる。

　　この手計算で、 の小数第２位を決定することは難しい。

　２²⁰＝１０４８５７６、３¹³ ＝１５９４３２３　で、２²⁰＜３¹³　より、２＜３^0.65　だから、

　　　　０．６２５＜ ＜０．６５　を求めるのが精一杯である。

　例　 の値を小数第１位まで正しく求めよ。

　　　（解）　５²＜３³、３⁷＜５⁵　より、１．４＜ ＜１．５　だから、 ≒１．４・・・

　例　 、 のおおよその値を求めよ。

　　　（解）　２³＝８≒１０　だから、３ ≒ １　　　よって、 ≒ ０．３・・・

　　　　　　　２³＜３²＜１０　だから、３ ＜２ ＜１

　　　　　　よって、０．４５・・・＜ ＜０．５　の範囲の数であることが分かる。

　例　２²⁰ は何桁の数で、その首位の数は何か？

　　　ただし、 ≒０．３０１０　とする。

　　　（解）　 ≒ ０．３０１０　 だから、２０ ≒６．０２

　　　　　　よって、１０⁶＜２²⁰＜１０⁷　となり、７桁の数であることが分かる。

　　　　　　また、０＜０．０２＜０．３０１０　より、６＜６．０２＜６＋

　　　　　　したがって、１０⁶＜２²⁰＜２・１０⁶　だから、２²⁰　の首位の数は、１ である。

　　　　　　（因みに、２²⁰ ＝１０４８５７６　である。）

　例　（１/２）²⁰ は小数第何位に初めて０でない数字が現れるか？また、その数字は

　　何か？　ただし、 ≒０．３０１０ 、 ≒０．４７７１　とする。

　　　（解）　−２０ ≒ −６．０２　なので、１０^-7＜（１/２）²⁰＜１０^-6

　　　　　　よって、小数第７位に初めて０でない数字が現れる。

　　　　　　また、−６．０２＝−７＋０．９８　で、２×０．４７７１＜０．９８＜１　だから、

　　　　　　−７＋２× ＜−６．０２ ＜−６　すなわち、９・１０^-7＜（１/２）²⁰＜１０^-6
　　　　　　したがって、求める数は、９ である。

　　　　　　（因みに、（１/２）²⁰ ＝０．００００００９５３６７・・・ である。）

　例　(０．９９)¹⁰　の値を小数第２位まで正しく求めよ。

　　　（解）　２項定理　(ａ＋ｂ)^ｎ＝ａ^ｎ＋ｎａ^ｎ-1ｂ＋ｎ(ｎ-1)/2ａ^ｎ-2ｂ²＋・・・＋ｂ^ｎ を用いて、

　　　　　　(０．９９)¹⁰＝(１−0．01)¹⁰

　　　　　　　　　　　　＝１−１０・0．01＋４５・0．0001−１２０・0．000001＋・・・

　　　　　　　　 　　　 ≒０．９０・・・　　　（第３項の45・0．0001以下急速に小さくなる！）

　例　 の値を小数第３位まで正しく求めよ。

　　　ただし、 ≒０．３０１０ 、 ≒０．４７７１　とする。

　　　この問題は、東北大学　理系　後期（２００８）の入試問題の一部である。

　　　（解）　４＝ｌｏｇ₁₀２４０１　であるのに対して、その近くの値として

　　　　　　ｌｏｇ₁₀２４００＝ｌｏｇ₁₀２４×１００

　　　　　　　　　　　　　＝ｌｏｇ₁₀３＋３ｌｏｇ₁₀２＋２

　　　　　　　　　　　　　＝０．４７７１＋３×０．３０１０＋２

　　　　　　　　　　　　　＝３．３８０１

　　　　　　であることに注目する。

　　　　　　ここで、　ｌｏｇ₁₀２４０１−ｌｏｇ₁₀２４００＝ｌｏｇ₁₀（１＋１/２４００）

　　　　　　　ところで、　ｘ≧０　のとき、　ｌｏｇ（１＋ｘ）≦ｘ　が成り立つ。

　　　　　　実際に、　Ｆ（ｘ） ＝ ｘ−ｌｏｇ（１＋ｘ）　とおくと、

　　　　　　　　　Ｆ’（ｘ） ＝ １−１/（１＋ｘ） ＝ ｘ/（１＋ｘ） ≧０

　　　　　　であるので、　Ｆ（ｘ） は単調に増加する。　また、　Ｆ（０） ＝ ０　であるので、

　　　　　　　ｘ≧０　のとき、　Ｆ（ｘ） ≧ ０　となり、　ｌｏｇ（１＋ｘ） ≦ ｘ　となる。

　　　　　　このことから、　ｌｏｇ₁₀２４０１−ｌｏｇ₁₀２４００

　　　　　　　　　　　　　　　＝ｌｏｇ₁₀（１＋１/２４００）

　　　　　　　　　　　　　　　＜ｌｏｇ（１＋１/２４００）≦１/２４００＝０．０００４１６６・・・

　　　　　　より、　ｌｏｇ₁₀２４０１＜ｌｏｇ₁₀２４００＋０．０００４１６６・・・＝３．３８０５１６６・・・

　　　　　　すなわち、　３．３８０１＜４＜３．３８０５２　より、

　　　　　　　　　　　　　　　０．８４５０２５＜＜０．８４５１３

　　　　　　なので、 の値を小数第３位まで正しく求めれば、　０．８４５　となる。

（追記）　平成２０年７月３０日付け

　当ＨＰの掲示板「出会いの泉」にＨＮ「まったりーな」さんが関数電卓について書き込みを
された。

　関数電卓が、Ｗｉｎｄｏｗｓ に標準で付いているということを伺って、いろいろ遊んでみた。

（手持ちのカシオの関数電卓を久しぶりに引っ張り出して使ってみたら、液晶部分が黒ずんでいてひど
くガッカリした！私のお気に入りだったのに．．．。）

　普通の電卓も関数電卓もともに３２桁の表示で、かなり高性能である。これだと、もう関数
電卓を別途購入する必要は全くないですね！

　常用対数は通常４桁くらいしか覚えておらず、その先がどうなっているか興味があったの
で計算させてみた。

　　ｌｏｇ₁₀２ ≒ ０．３０１０ ２９９９ ５６６３ ９８１１ ９５２１ ３７３８ ８９４７ ２４４９ ・・・

　　ｌｏｇ₁₀３ ≒ ０．４７７１ ２１２５ ４７１９ ６６２４ ３７２９ ５０２７ ９０３２ ５５１２ ・・・

　掲示板で、「まったりーな」さんは、次の問題を提起された。

　　　３の１０００乗を常用対数表を使って、近似値を求めたい

　数学�Uで学ぶ手法では、次のように解かれる。

　ｌｏｇ₁₀３¹⁰⁰⁰＝１０００×ｌｏｇ₁₀３

通常は、ｌｏｇ₁₀３ ≒ ０．４７７１　より、　ｌｏｇ₁₀３¹⁰⁰⁰ ≒　４７７．１　となるので、

　　ｌｏｇ₁₀ ａ ＝０．１　となる数 ａ をとれば、ａ はだいたい １．２６〜１．５８ の間の数で、

　　　　　３¹⁰⁰⁰ ≒ ａ × １０⁴⁷⁷

と書けることになる。

　このことから、３¹⁰⁰⁰ は、４７８桁の整数で、首位の数は、１ で、末位の数も １ となる。

ここら辺が、常用対数表で求められる限界である。

　Ｗｉｎｄｏｗｓ に標準でついている関数電卓に出会うまでは、上記の解答で満足していた
が、「まったりーな」さんに教えていただいた関数電卓を使うとさらに詳しく調べられる。

　　ｌｏｇ₁₀３ ≒ ０．４７７１ ２１２５ ４７１９ ６６２４ ３７２９ ５０２７ ９０３２ ５５１２ ・・・

なので、

　ｌｏｇ₁₀３¹⁰⁰⁰＝１０００×ｌｏｇ₁₀３

　　　　　　　　＝４７７．１２１２　５４７１　９６６２　４３７２　９５０２　７９０３　２５５１　２ ・・・

　よって、　ｌｏｇ₁₀ ａ ＝０．１２１２　５４７１　９６６２　４３７２　９５０２　７９０３　２５５１　２ ・・・

となる ａ の値を詳しく求めれば、３¹⁰⁰⁰ に関する情報も詳しくなる。

　関数電卓を用いると、

　　ａ ≒ １．３２２０ ７０８１ ９４８０ ８０６６ ３６８９ ０４５５ ２５９７ ６６４ ・・・

と簡単に求められる。（「Ｉｎｖ」と「ｌｏｇ」を活用すればよい！）

　このことから、怖ろしく大きい数　３¹⁰⁰⁰　のだいたいの様子が分かる。

　３¹⁰⁰⁰ ≒ １３２２ ０７０８ １９４８ ０８０６ ６３６８ ９０４５ ５２５９ ７６６４ ・・・・ ・・・１

　これは、ちょっと感動ものですね．．．！

　こんな面倒なことをせず関数電卓を使えば、

　３¹⁰⁰⁰ ≒ １３２２ ０７０８ １９４８ ０８０６ ６３６８ ９０４５ ５２５９ ７５２１ ・・・・ ・・・１

と出る。

　先頭から３０番目以降の数に違いがあるので、ここら辺から誤差が生じているのだろう。

ちょっと、気になりますね．．．？

（コメント）　関数電卓は、今後私とお友達になれそうです。関数電卓のことを教えていただ
　　　　　　いた「まったりーな」さんに感謝いたします。