平方根・立方根を筆算で求める方法について　　　戻る

　近所の図書館では毎年古本市を開いている。在庫があるとか、貸出利用がないとかで
不要になった書籍を無料で開放している。隣町では、一人２０冊までとかの冊数制限を設
けているが、我が街の図書館は冊数無制限である。そんな太っ腹な所が好きで、毎年足
を運んでいる。朝１０時開館前から並ぶ人も多く、会場は超満員であった。

　　今年も、３０冊近く本をGETすることができた。その中で気になる本が１冊あった。

昭和９年初版発行、昭和１７年９月１３日に１３版発行（２０００部）と記された

　　問谷　力・森本清吾著　　袖珍　数学公式要覧（山海堂出版部）

という本である。（出版社は、現存する「山海堂」のことだと思うが、詳細は不明。）

　公式集としては、高校生向けの『科学新興社モノグラフ２４．公式集』が有名であるが、
上記の公式集は、小学校から大学初年級位までの、数学のありとあらゆる公式が網羅
され読むものを圧倒する迫力が感じられた。多分もう絶版だと思うが、惜しい限りである。

　学習指導要領も改訂の度ごとに内容が削減され、数学教育に携わる者として寂しい思
いをしていた。ただ、今度の新学習指導要領では、それまでの上限という認識から、下限
という認識に立って教えていいことになったので、生徒の興味のおもむくまま、これまでは
躊躇していたいろいろなことを紹介していきたいと思う。その材料を上記の本に見つける
ことが出来たのである。

　私が高校生のころ、教科書のコラムに「開平法」というのがあり、そこで、筆算で平方根
を計算する方法を学んだ。同年代の人に聞くと、「やったね！」という声が返ってきたので、
多分日本全国で、開平法というものが高校生の目に触れる機会はあったのだと思う。でも、
今はどの教科書をみてもその記述はないようである。上記の本では、その開平法はもちろ
んのこと、私が知らなかった開立法というものも紹介されていた。因みに、開立法について
は、我々より一世代前の方はご存知のようである。

　九去法とあわせ、それらをこのホームページで紹介し、先人たちが学んだことを、少しで
も我々が受け継ぎ、それらを後世に残していきたいと思う。
（開平法の原理については、こちらを参照）

　　
　　


　　


開平法の原理

　開平法については、私自身高校生のころ学んだわけであるが、その原理について深く考
えようとしたことは、恥ずかしながら、今まで一度もなかった。大学受験ということもあるが、
「解ければＯ．Ｋ．」という考えが先に立ち、立ち止まってじっくり取り組むという時間もなかっ
た。全てが効率主義であったと、今大いに反省しているところである。ただ、「突っ走って先
を急ぐ」ということも数学の学習では大切であると思う。一つの高い山に登る場合、山道を寄
り道しながら進むよりも、一気に山頂に登りつめ、山頂から今登ってきた道を振り返る方が、
はるかに見通しよく山を語ることができる。数学の学習でもその方法は有効で、深入りしす
ぎて迷路に迷い込むこともなくなる。ある程度直感的に正しいと思うことは、深く考えずどん
どん先に進むという方が精神衛生上にもいいのかもしれない。数学のノーベル賞といわれる
フィールズ賞を受賞された広中平祐氏も、細く、先を急ぐという学習をされていたと聞く。（特
異点解消理論によりフィールズ賞を受賞された後、文化勲章を受章され、日本に一時帰国
されたときのNHKでの対談より）
　このページでは開平法の原理について、具体例を通して眺めてみたい。
例　　(２３１)２＝５３３６１ なので、５３３６１の平方根は ２３１ である。
ここでは、５３３６１を与えて、その平方根２３１が求まる原理を調べようと思う。
(２３１)２＝５３３６１の両辺を、10進法展開すれば、
　　　　（２×１００＋３×１０＋１）２＝５×１００００＋３×１０００＋３×１００＋６×１０＋１
となる。従って、ａ、ｂ、ｃを、０〜９の整数として（ただし、ａは０でない）、
　　　　５×１００００＋３×１０００＋３×１００＋６×１０＋１＝（ａ×１００＋ｂ×１０＋ｃ）２
を満たすａ、ｂ、ｃ を合理的に見つける手順を探せばよい。
　ところで、ａ×１００ を ａ００ などと表すことにすると、
　　（ａ００＋ｂ０＋ｃ）２＝ａ２００００＋ｂ２００＋ｃ２＋２ａｂ０００＋２ｃａ００＋２ｂｃ０
　　　　　　　　　　　　　　＝ａ００２＋（２ａ００＋ｂ０）×ｂ０＋（２ａ００＋２ｂ０＋ｃ）×ｃ
と変形される。
　この式を見ると、副運算で、なぜ、あのような計算を行う必要があったのか、鮮やかにそ
のからくりが見えてくる。
　５００００＋３０００＋３００＋６０＋１＝（ａ００＋ｂ０＋ｃ）２　において、まず、左辺の５００００
に関係するのは、右辺ではａ００ のみである。
　（ａ００）２が一番５００００ に近くなる、即ち、ａ２が一番５に近くなる数を探す。
このことにより、ａ＝２ が定まる。次に、
　（ａ００＋ｂ０＋ｃ）２− （ａ００）２を求めて、この値に一番近い値（２ａ００＋ｂ０）×ｂ０ を与え
る ｂ を見つけなければならない。そのために、副運算の方で、２ａ００ を求めておくのであ
る。c についても以下同様である。開平法のからくりの図式を次にまとめてみた。

　　　　　

特に、Ｘ−ａ２００００−２ａｂ０００−ｂ２００−２ｃａ００−２ｂｃ０−ｃ２＝０　のとき、
　　Ｘ＝ａ２００００＋２ａｂ０００＋ｂ２００＋２ｃａ００＋２ｂｃ０＋ｃ２
　　　＝（ａ００＋ｂ０＋ｃ）２
が成り立つ。