15°の正接                               戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                        (平成27年1月1日付け)

 三角形 BC=1+、、CA=2、∠C=60°を解くことにより、tan15°の値を求めなさい。







































(答) 15°の三角比の計算というと、どうしても次の図が目に浮かぶ。

   

 ただ、この図を用いると、どうしても2重根号の計算が避けられない。2重根号の計算を回
避する方法も知られている。(→ 参考:「2重根号」)

 よおすけさんから与えられた三角形は、2重根号の計算を回避する第3の方法になります
ね!よおすけさんに感謝します。


  左図より、

    tan15°=()/(

         =2−





 当HPがいつもお世話になっているHN「S(H)」さんより、別解を頂きました。
                                        (平成27年1月4日付け)

 単位円周上の2点A(1,0)とB(/2,1/2)を結ぶ線分の中点M((2+)/4,1/4)

と原点を通る直線の方程式は、 y=(2−)x である。このとき、直線 x=1 との交点は、

(1,2−)なので、 tan15°=2−


(コメント) S(H)さん、ありがとうございます。S(H)さんの別解を見てて次のような求め方
      があることに気づきました。

 a= 、c=2 、∠B=30°、∠C=90°の直角三角形ABCにおいて、∠Bの2等分

線が辺CAと交わる点をDとおく。このとき、角の2等分線の性質から、Dは、辺CAを、

:2に内分する点である。よって、 CD=/(2+)=(2−

 よって、 tan15°=CD/BC=2−


 DD++さんからのコメントです。(平成27年1月4日付け)

 線分 AB を直径とする半径 の半円周上に、∠CAB=60°, ∠DAB=15° となるように
2点 C、D を取り、線分 CB と線分 AD との交点を E とする。

 線分 AB、BD、DA の長さを求めることにより 15° の三角比を求めよ。

※半径 なのは分数計算が出ないようにするだけの目的。半径 1/2 でやると BD と DA
 に直接 sin15° と cos15° が出てきます。


(コメント) 円の中心をOとすると、∠AOD=30°なので、余弦定理より、

  AD2=2+2−4・/2=4−2 なので、 AD=−1

 また、BD2=(22−(−1)2=8−4+2=4+2 なので、BD=+1

 よって、 sin15°=(−1)/(2)=()/4

      cos15°=(+1)/(2)=()/4

      tan15°=(−1)/(+1)=2−


 DD++さんからのコメントです。(平成27年1月6日付け)

 上記の(コメント)にある解法は、私の意図した手順ではありませんでした。二重根号が出
てくるので、この図の価値がなくなってしまいます。もうちょっと誘導をつけるべきでしたね。

 まず、AB は直径なので、 AB=2

 △ACB は直角三角形で、 AC= 、CB=

 △ACE は直角二等辺三角形なので、 CE= 、AE=2

 よって、 EB=CB−CE=

 △DEB も直角二等辺三角形なので、 DE=DB=−1

 よって、 AD=AE+DE=+1

 したがって、sin15°=(−1)/(2)=()/4

      cos15°=(+1)/(2)=()/4

      tan15°=(−1)/(+1)=2−


(コメント) DD++さんの問題条件とは全く真逆な図で計算していました。2重根号の計算が
      出てくるので変だとは思いました...。今再計算してみると、なかなか味のある
      図になっていますね!


 よおすけさんからのコメントです。(平成27年1月5日付け)

 解答を見て、こんなに簡単にできるとは思いませんでした。僕は、以下でやっていたので・・・。

 正接定理 {(BC-CA)/(BC+CA)}={tan((A-B)/2)}/{tan((A+B)/2)}・・・(1)

を使います。証明については、正弦定理から導けますので、ここではやりません。

  (補足) 正弦定理から、
   (a−b)/(a+b)=(sinA−sinB)/(sinA+sinB)
             =cos{(A+B)/2}sin{(A−B)/2}/sin{(A+B)/2}cos{(A−B)/2}
             =tan{(A−B)/2)}/tan{(A+B)/2)}  (終)


 右辺より、A+B=180°-C=120°から、tan((A+B)/2)=

 左辺より、{(BC-CA)/(BC+CA)}={(+1-2)/(+1+2)}=(-3+2)/3

(1)より、

 {tan((A-B)/2)}=tan((A+B)/2)×{(BC-CA)/(BC+CA)}=×(-3+2)/3=2-・・・(2)

 2-≒0.2679 なので、三角関数の表より、{(A-B)/2}≒15°

 (2)より、 tan15°=2-


(コメント) 何となく計算が遠回りしているような雰囲気かな?


 よおすけさんからのコメントです。(平成27年1月6日付け)

 元々、正接定理(ネイピアの法則)の応用として出したのが本問題です。Wikipediaの「正接
定理」-「応用」を見て、つくりたい!と思い、出しました。正接定理のことをもっと知って欲し
かった、というのもありましたが、問題自体がtan15°の値に辿り着くまでの解法というイメ
ージが強すぎて、目立たなくなってしまったことに戸惑っています。正接定理は、また別の形
で投稿したいと思っています。


 らすかるさんからのコメントです。(平成27年1月5日付け)

 一辺が2の正方形ABCDの内部に正三角形EBCを作り、ADの中点をMとすると
AM=1、ME=2- だから、tan15°=ME/AM=2-


(コメント) らすかるさんの解がとてもエレガントですね!今日偶然にも、折り紙を折って15°
      を作るという問題を考えていて、らすかるさんのアイデアを復習したばかりです!
      円に内接する四角形の性質から、∠MAE=15°は明らかですね。


 よおすけさんから解答をいただきました。(平成28年7月19日付け)

余弦定理より、

AB2=(1+)2+22-2・(1+)・2cos60°=6

 AB>0より、AB=

 また、22=2+(1+)2-2・(1+)cosB

より、 cosB=1/ から、 ∠B=45°で、∠A=75°

 このままでは直接tan15°を導けないので、点Aから辺BC上へAD=DC=2となるような点Dを
取ると、△ADCは1辺が2の正三角形となり、 BD=1+-2=-1+

 また、△ABDについて、∠BAD=∠BAC-∠DAC=15゜ だから、余弦定理より、

 cos15°=()/4

 三角比の相互関係より、 tan215°=-1+1/cos215°=(2-)2

 以上から、tan15°=2-

# 冒頭の解法との違いは、△ABDで点Dから辺ABへ垂線を引かず、そのまま使ったところ
  です。