積=和                                戻る

 次の問題は、英語の先生から教わりました。簡単なようで、意外と考えさせるいい問題だ
と思います。数学を教えているとき、よく生徒たちに考えさせたそうです。

問題

 A×B=A+B を満たす A、B の値を求めよ。ただし、A、B は異なる数とする。














































(答) A、Bが整数だと、(A−1)(B−1)=1から、(A,B)=(0,0)、(2,2)と解は2つだ
   け存在しますが、整数という条件を外すと、答は無数にあって、その一般形は次のよう
   になります。

   n を 1 以外の任意の数として、A=n とすれば、B=n/(n−1)


 この問題に関連して、当HPがいつもお世話になっているHN「FN」さんより、新しい話題を
頂いた。(平成22年6月21日付け)

 1×2×3=1+2+3 とか 1×1×2×4=1+1+2+4 とかのように、自然数を2個
以上用いて、積と和が等しくなるものを考えます。「小さい順(大きい順)に並べる」に決めて
おいて、順序を変えただけのものは同じとみなします。

まず、相異なる自然数としたとき、

(1) n を2以上の自然数とする。

  n 個の自然数 A1、A2、・・・、An ( A1<A2<・・・<An )の積と和が等しいとき、

  n=3 で、A1=1、A2=2、A3=3 であることを証明せよ。


 以後は同じ数があってもよいとします。

(※)上記の問題で、自然数という条件を整数という条件に置き換えると、{−3,−2,−1}
  や {1,2,3} 以外に、{−k,0,k} (kは整数) など無数の解がある。

   また、「よおすけ」さんからは、実数で重複も可とすると、
      ××
  も成り立つとコメントを頂いた。(平成22年6月26日付け)


 ここで、n=2 のときは、2×2=2+2 のみ。

 実際に、

  xy=x+y (1≦x≦y) より、 (x−1)(y−1)=1  x−1、y−1≧0 より、

 x−1=y−1=1  よって、x=y=2

次に、n=3 のときは、1×2×3=1+2+3 のみ。

 実際に、 xyz=x+y+z≦3z (1≦x≦y≦z)  において、 xy≦3

  x=1、y=1 のとき、 解なし

  x=1、y=2 のとき、 z=3

  x=1、y=3 のとき、 3z=4+z より、z=2 (不適)

また、n=4 のときは、1×1×2×4=1+1+2+4 のみ。

 実際に、 xyzw=x+y+z+w≦4w より、 xyz≦4

     x3≦xyz≦4 より、x=1 のみ  yz≦4

  y2≦yz≦4 より、 y=1、2 となる。

  y=1、z=1 のとき、 w=3+w より、解なし

  y=1、z=2 のとき、 2w=4+w より、w=4

  y=1、z=3 のとき、 3w=5+w より、解なし

  y=1、z=4 のとき、 4w=6+w より、w=2 (不適)

  y=2、z=2 のとき、 4w=5+w より、解なし


 それでは、5個の場合を考えてください。

(2) 自然数 A、B、C、D、E( A≧B≧C≧D≧E ) でその積と和が等しいものを

  すべて求めよ。


(解) ABCDE=A+B+C+D+E≦5A より、 BCDE≦5

   E4≦BCDE≦5 より、 E=1 のみ   BCD≦5

   D3≦BCD≦5 より、 D=1 のみ  BC≦5

   C2≦BC≦5 より、 C=1、2

  C=1、B=1 のとき、 A=4+A より、解なし

  C=1、B=2 のとき、 2A=5+A より、A=5

  C=1、B=3 のとき、 3A=6+A より、A=3

  C=1、B=4 のとき、 4A=7+A より、解なし

  C=1、B=5 のとき、 5A=8+A より、A=2 (不適)

  C=2、B=2 のとき、 4A=6+A より、A=2

 以上から、 5×2×1×1×1=5+2+1+1+1

         3×3×1×1×1=3+3+1+1+1

         2×2×2×1×1=2+2+2+1+1  (終)


最後に、すべての自然数 n について、積=和となるものが必ずあることを示してください。

(3) すべての自然数 n について、n 個の自然数(同じものがあってもよい)で、その積

  と和が等しくなるようなものが存在することを示せ。


 具体的に1つあることを示せば終わりです。従って、(3)が一番易しいかもしれません。


 FNさんより、いろいろご教示頂いた。(平成22年6月25日付け)

 自然数の積と和であれば、普通は積の方が大きいはず。積と和が等しいということは、1
がかなり多いということである。例えば、n=100 であれば、少なくとも94個は1である。

 n≦11 ぐらいで、解の個数を求めてください。即ち

(4) n を2以上11以下の自然数とする。

 n 個の自然数 A1、A2、・・・、An ( A1≦A2≦・・・≦An ) で、その積と和が等しい

 ような組は何組あるか。


 この話題に関連して、GAI さんが、オンライン整数列大辞典「A033178」にそのパターン数
を見出された。(平成22年6月25日付け)

 因みに、最も多い n=85 での10パターンを具体的に書くと、

  (1,・・・・・,1,2,85)、(1,・・・・・,1,3,43)、(1,・・・・・,1,4,29)、(1,・・・・・,1,5,22)、(1,・・・・・,1,7,15)

  (1,・・・・・,1,8,13)、(1,・・・・,1,2,7,7)、(1,・・・・,1,3,3,11)、(1,・・・・,1,4,4,6)、(1,・・・,1,2,2,3,8)

となるそうである。

 FNさんによれば、オンライン整数列大辞典に、上記(3)の答えが示されているとのこと。
                                      (平成22年6月25日付け)

 任意の自然数 n に対して、積と和が一致する n 個の数の一つの例として、

    1 、1 、・・・ 、1 、2 、n  ( 1 が n−2 個)

がある。実際に、積=和=2n である。.


 らすかるさんが、n=1,000,000 まで調べられました。(平成22年6月26日付け)

実行時間 : 1秒 とのことです!

 100 までの最大のパターン数は、10 (n=85 のとき)
 1000 までの最大のパターン数は、22 (n=793 のとき)
 10000 までの最大のパターン数は、51 (n=9361 のとき)
 100000 までの最大のパターン数は、95 (n=95761 のとき)
 1000000までの最大のパターン数は、209 (n=967573 のとき)

 因みに、計算結果は下記の通り。

n=81〜100 について、パターン数は順次
 7,4,5,2,10,5,4,5,8,2,6,3,6,3,6,5,6,5,4,5

n=981〜1000 について、パターン数は順次
 18,9,12,8,16,11,11,11,13,6,16,8,9,4,12,4,12,10,6,6

n=9981〜10000 について、パターン数は順次
 16,9,24,12,25,14,13,17,18,9,30,12,14,13,18,16,32,23,13,19

n=99981〜100000 について、パターン数は順次
 22,23,21,9,46,39,20,18,42,19,37,21,38,12,28,15,45,39,20,28

n=999981〜1000000 について、パターン数は順次
 42,29,81,29,68,48,30,38,59,31,58,47,60,35,49,30,46,42,38,65

 らすかるさんによれば、1,000,000 以下では、大雑把に 3n0.2 近辺の値をとることが多そ
うだとのことだが、かなりムラがあるとのこと。

 たとえば、n=967571〜967590 について、パターン数は順次
158,128,209,134,120,150,167,136,136,161,181,147,162,135,161,156,138,161,157,150

となる。このように局所的に大きい数が続く部分がところどころあるとのことです。

 平成22年6月27日付けで、GAI さんが最大のパターン数のときの具体的な解を調べら
れた。

n=793 の時 パターン数 22

 (1,…,1,2,793)、(1,…,1,3,397)、(1,…,1,4,265)、(1,…,1,5,199)、(1,…,1,7,133)、(1,…,1,9,100)

 (1,…,1,10,89)、(1,…,1,12,73)、(1,…,1,13,67)、(1,…,1,19,45)、(1,…,1,23,37)、(1,…,1,25,34)

 (1,…,1,2,3,159)、(1,…,1,3,5,57)、(1,…,1,3,6,47)、(1,…,1,3,7,40)、(1,…,1,3,12,23)

 (1,…,1,7,9,13)、(1,…,1,2,2,5,42)、(1,…,1,2,2,3,4,17)、(1,…,1,2,3,3,5,9)、(1,…,1,3,3,3,3,10)


n=9361 の時 パターン数 51

 (1,…,1,2,9361)、(1,…,1,3,4681)、(1,…,1,4,3121)、(1,…,1,5,2341)、(1,…,1,6,1873)

 (1,…,1,7,1561)、(1,…,1,9,1171)、(1,…,1,10,1041)、(1,…,1,11,937)、(1,…,1,13,781)

 (1,…,1,14,721)、(1,…,1,16,625)、(1,…,1,17,586)、(1,…,1,19,521)、(1,…,1,21,469)

 (1,…,1,25,391)、(1,…,1,27,361)、(1,…,1,31,313)、(1,…,1,37,261)、(1,…,1,40,241)

 (1,…,1,41,235)、(1,…,1,46,209)、(1,…,1,49,196)、(1,…,1,53,181)、(1,…,1,61,157)

 (1,…,1,66,145)、(1,…,1,73,131)、(1,…,1,79,121)、(1,…,1,81,118)、(1,…,1,91,105)

 (1,…,1,2,49,97)、(1,…,1,3,5,669)、(1,…,1,3,6,551)、(1,…,1,3,20,159)、(1,…,1,3,23,138)

 (1,…,1,3,40,79)、(1,…,1,4,5,493)、(1,…,1,4,7,347)、(1,…,1,4,43,55)、(1,…,1,5,9,213)

 (1,…,1,5,31,61)、(1,…,1,5,42,45)、(1,…,1,13,25,29)、(1,…,1,16,19,31)、(1,…,1,2,3,5,323)

 (1,…,1,2,3,25,63)、(1,…,1,2,4,9,132)、(1,…,1,2,7,9,75)、(1,…,1,3,11,15,19)、(1,…,1,4,7,12,28)

 (1,…,1,2,2,6,14,28)


 上記であげた問題(4)で不等式の向きを逆にして、FNさんが、解を求められた。
                                      (平成22年7月3日付け)
(4) n を2以上11以下の自然数とする。

 n 個の自然数 A1、A2、・・・、An ( A1≧A2≧・・・≧An ) で、その積と和が等しい

 ような組は何組あるか。


 (解) A5=1 である。

   実際に、A1=Aとし、A5≧2 と仮定すると、 A12・・・An≧A・2・2・2・1=8A

  ところで、 A1+A2+・・・+An≦n・A より、 n・A≧16A なので、 n≧16

  n≦11 なので、これは矛盾である。よって、 A5=1 である。

   同様にして、 A4=1 である。

   実際に、A1=Aとし、A4≧2 と仮定すると、 A12・・・An≧A・2・2・2・2・1=16A

  ところで、 A1+A2+・・・+An≦4A+n−4 より、 4A+n−4≧8A

   すなわち、 n−4≧4A において、 n≦11 より、 7≧4A なので、 A=1

  これは、 A≧A4≧2 としたことに矛盾する。よって、 A4=1 である。

  以上から、1でない可能性があるのは3個以下である。

  そこで、 A1=A、A2=B、A3=C とおく。

  1でないのが1個のとき、 A+n−1=A となり、不適。

  1でないのが2個のとき、 A+B+n−2=AB より、 (A−1)(B−1)=n−1

   n=2 のとき、 (A−1)(B−1)=1 より、 A=B=2

   n=3 のとき、 (A−1)(B−1)=2 より、 A=3、B=2

     このとき、6C=5+C より、 C=1

   n=4 のとき、 (A−1)(B−1)=3 より、 A=4、B=2

     このとき、8C=7+C より、 C=1

   n=5 のとき、 (A−1)(B−1)=4 より、 A=5、B=2 または、A=B=3

     A=5、B=2 のとき、10C=9+C より、 C=1

     A=3、B=3 のとき、9C=8+C より、 C=1

   n=6 のとき、 (A−1)(B−1)=5 より、 A=6、B=2

     このとき、12C=11+C より、 C=1

   n=7 のとき、 (A−1)(B−1)=6 より、 A=7、B=2 または、A=4、B=3

     A=7、B=2 のとき、14C=13+C より、 C=1

     A=4、B=3 のとき、12C=11+C より、 C=1

   n=8 のとき、 (A−1)(B−1)=7 より、 A=8、B=2

     このとき、16C=15+C より、 C=1

   n=9 のとき、 (A−1)(B−1)=8 より、 A=9、B=2 または、A=5、B=3

     A=9、B=2 のとき、18C=17+C より、 C=1

     A=5、B=3 のとき、15C=14+C より、 C=1

   n=10 のとき、 (A−1)(B−1)=9 より、 A=10、B=2 または、A=B=4

     A=10、B=2 のとき、20C=19+C より、 C=1

     A=4、B=4 のとき、16C=15+C より、 C=1

   n=11 のとき、(A−1)(B−1)=10 より、A=11、B=2 または、A=6、B=3

     A=11、B=2 のとき、22C=21+C より、 C=1

     A=6、B=3 のとき、18C=17+C より、 C=1

  1でないのが3個のとき、 A+B+C+n−3=ABC

   ここで、C≧3 と仮定すると、 3A+n−3≧A+B+C+n−3=ABC≧9A

  このとき、 n−3≧6A≧18 より、 n≧21 となり、n≦11 に矛盾する。

   よって、 c=2 である。

  このとき、 A+B+n−1=2AB より、 (2A−1)(2B−1)=2n−1

   ここで、 A≧2、B≧2 より、 2A−1≧3、2B−1≧3 なので、 2n−1≧9

  よって、 n=5、6、7、8、9、10、11

   n=5 のとき、 (2A−1)(2B−1)=9 より、 A=2、B=2

   n=6 のとき、 (2A−1)(2B−1)=11 を満たす解はない。

   n=7 のとき、 (2A−1)(2B−1)=13 を満たす解はない。

   n=8 のとき、 (2A−1)(2B−1)=15 より、 A=3、B=2

   n=9 のとき、 (2A−1)(2B−1)=17 を満たす解はない。

   n=10 のとき、 (2A−1)(2B−1)=19 を満たす解はない。

   n=11 のとき、 (2A−1)(2B−1)=21 より、 A=4、B=2

 以上から、求める解は、

 n=2 のとき、 (2,2)

 n=3 のとき、 (3,2,1)

 n=4 のとき、 (4,2,1,1)

 n=5 のとき、 (5,2,1,1,1) 、(3,3,1,1,1) 、(2,2,2,1,1)

 n=6 のとき、 (6,2,1,1,1,1)

 n=7 のとき、 (7,2,1,1,1,1,1) 、(4,3,1,1,1,1,1)

 n=8 のとき、 (8,2,1,1,1,1,1,1) 、(3,2,2,1,1,1,1,1)

 n=9 のとき、 (9,2,1,1,1,1,1,1,1) 、(5,3,1,1,1,1,1,1,1)

 n=10 のとき、 (10,2,1,1,1,1,1,1,1,1) 、

            (4,4,1,1,1,1,1,1,1,1)

 n=11 のとき、 (11,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1) 、

            (6,3,1,1,1,1,1,1,1,1,1) 、

            (4,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1)

(コメント) これでスッキリしました!FNさんに感謝します。


(追記) 平成22年10月9日付け

 当HPがいつもお世話になっているHN「攻略法」さんが、上記の問題

n を2以上11以下の自然数とする。

 n 個の自然数 A1、A2、・・・、An ( A1≦A2≦・・・≦An ) で、その積と和が等しい

 ような組は何組あるか。


の考え方を整理された。

● 1つを除いて限定する方法

 たとえば、n=5 の場合、 abcde=a+b+c+d+e (0<a≦b≦c≦d≦e)とする。

  abcde=a+b+c+d+e≦e+e+e+e+e=5e より、 abcd≦5

 このとき、

  (a,b,c,d)=(1,1,1,1)、(1,1,1,2)、(1,1,1,3)、
             (1,1,1,4)、(1,1,1,5)、(1,1,2,2)

 残りの e は、順に値を入れて決める。

  (a,b,c,d)=(1,1,1,1)の場合  和=4+e 、 積=e で常に、 4+e>e

    よって、この場合は、解なし

  (a,b,c,d)=(1,1,1,2)の場合

      和=5+e 、 積=2e で、 5+e=2e より、 e=5

    よって、この場合の解は、 (a,b,c,d,e)=(1,1,1,2,5)

  (a,b,c,d)=(1,1,1,3)の場合

      和=6+e 、 積=3e で、 6+e=3e より、 e=3

    よって、この場合の解は、 (a,b,c,d,e)=(1,1,1,3,3)

  (a,b,c,d)=(1,1,1,4)の場合

      和=7+e 、 積=4e で、 7+e=4e を満たす自然数はない。

    よって、この場合は、解なし

  (a,b,c,d)=(1,1,1,5)の場合

      和=8+e 、 積=5e で、 8+e=5e より、 e=2

    これは、e≧5 であることに矛盾する。

    よって、この場合は、解なし

  (a,b,c,d)=(1,1,2,2)の場合

      和=6+e 、 積=4e で、 6+e=4e より、 e=2

    よって、この場合の解は、 (a,b,c,d,e)=(1,1,2,2,2)

 以上から、求める解は、

  (a,b,c,d,e)=(1,1,1,2,5)、(1,1,1,3,3)、(1,1,2,2,2)

● 2以上の数(1以外の数)の個数に着目する場合

 すべてが1とすると、和=n、積=1 となるので、n≧2の場合、解なし。

 すべてが2とすると、和=2n、積=2 となるので、和=積となるのは、n=2のときのみ。

 n≧3 ならば、常に、和<積なので、解なしとなる。

 したがって、いくつかが1以外、すなわち、2以上の値とする必要がある。その個数を m と

 する。最小の並び (1,1,・・・,1,2,2,・・・,2) で評価する式を考えると、

  和=1×(n−m)+2m=n+m 、積=1n-m・2=2

 となる。

 m=1 とすると、和=n+1 積=2 なので、n≧2 の場合、常に和の方が大きい。

 よって、m≧2 である。

 一般に和<積なので、大小関係が和≧積から和<積に変わるまでが検証範囲となる。

 たとえば、n=5 の場合

  m=2 のとき、 和=5+m=7 、 積=2=4
  m=3 のとき、 和=5+m=8 、 積=2=8
  m=4 のとき、 和=5+m=9 、 積=2=16

 これより、 m=2、3 の場合が検証範囲となる。

m=2 の場合

 
 
 
 
10 10 該当!
11 12 中断して、桁上げ
該当!
10 12 中断して、桁上げ
11 16 最初が不適なので、終了

m=3 の場合

 
該当! 
12 中断して、桁上げ 
10 18 終了 

 以上から、求める解は、

  (a,b,c,d,e)=(1,1,1,2,5)、(1,1,1,3,3)、(1,1,2,2,2)


 KSさんからのコメントです。(平成28年7月16日付け)

 x1+x2=x1x2、x1+x2+x3=x1x2x3、x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4、…などの解として、

   1+…+1(1がn-2個)+2+n=2n

により自明解が得られますが、他の解について公式みたいのがありますか。5個のとき、複
数の解があります。


 らすかるさんからのコメントです。(平成28年7月17日付け)

 「A033178」に式が書かれていませんので、ないと思います。



   以下、工事中