正方形を切り取る                            戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                       (平成26年10月1日付け)

 一辺が15cmの正方形の四隅から、合同な正方形を切り取った残りでふたのない直方体を
作ったら、その容積が250cm3になった。切り取った一辺の長さを求めよ。







































答) よおすけさんから解答を頂きました。(平成26年10月6日付け)

切り取る一辺の長さを x cmとすると、問題文より、 x(15-2x)(15-2x)=250 ・・・(1)

すなわち、 x(15-2x)2=250 ・・・・・・(2)

ただし、 x>0、15-2x>0 から、 0<x<15/2 ・・・(3)

(2)を整理して、 4x3-60x2+225x-250=0 ・・・・(4)

(4)を解くと、 x=5/2(重解)、10

(3)より、 x=10 は条件に合わないので捨てる。よって、x=5/2

したがって、切り取る一辺の長さは、5/2(cm)


 多項式の微分を用いたものも挙げておきます。

 切り取る一辺の長さを x cmとおくと、x>0、15-2x>0 より、 0<x<15/2

この容積をP(x)(cm3)とおくと、問題文より、

  P(x)=x(15-2x)2=4x3-60x2+225x

P(x)を微分して、P’(x)=12x2-120x+225=3(4x2-40x+75)=3(2x-5)(2x-15)

0<x<15/2では、x=5/2 のとき、P(x)の値は最大になる。

 この最大値は、P(5/2)=250

 したがって、箱の容積を最大値の250(cm3)にするには、切り取る一辺の長さを、5/2(cm)
にすればよい。


 らすかるさんからのコメントです。(平成26年10月6日付け)

(別解) 相加相乗平均から、

  4x(15-2x)(15-2x)≦{{4x+(15-2x)+(15-2x)}/3}3=1000 なので、

 x(15-2x)(15-2x)≦250

 等号は、 4x=15-2x すなわち、x=5/2 のときなので、求める答えは、x=5/2(cm)


(コメント) らすかるさんの相加相乗平均を用いた解法は斬新ですね!