平方数となる和                             戻る

 自然数の1から n までの和を考える。

            1=2
          1+2=3
       1+2+3=6
 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
    1+2+・・・+7=28
 1+2+・・・+7+8=36=2

 上記の計算から分かるように、自然数の1から n までの和には、平方数となる場合とそう
でない場合がある。

 平方数となる場合は、n = 1、8、・・・ である。

そこで、問題である。和が平方数となるような n を、1、8 以外にもう 3 個あげよ。



























(答) 自然数の 1 から n までの和は、n(n+1)/2 で与えられる。

   n=2k のとき、n(n+1)/2=k(2k+1)

   n=2k−1 のとき、n(n+1)/2=k(2k−1)

  として、1≦k≦1000 の場合について、表計算ソフトExcel を活用し調べた。

  その結果、次の場合に平方数になることが分かった。    

25 144 841
49 288 1681
36 1225 41616 1413721
平方 2 2 352 2042 8412

k≧1000 の k については調べていないが、まだまだありそうである。k=841の次にどの
値で平方数となるのであろうか?興味は尽きないが、読者の計算にまかせようと思う。

 この問題について、理論的な解法を試みようとしたが、まだ思案中である。理論的な解法
ができた方、メールでお知らせください。


(追記) 数理パズル入門 を運営されている未菜実さんからメールを頂戴した。

 『 自然数の 1 から a までの和が平方数になるとき、次のような関係式が成り立つ。

        n+2 = 6an+1−an+2

 a1=1、a2=8 なので、

 1 、 8 、 49 、 288 、 1681 、 9800 、 57121 、 332928 、

1940449 、 11309768 、  65918161 、 384199200 、 2239277041、

13051463048 、 76069501249 、  443365544448 、 2584123765441、

15061377048200 、 87784138523761 、  511643454094368 、 ・・・


という数列を得る。』とのことである。

 いままで、別な見方(偶奇の場合わけによる証明)をしていて、上記のような関係式には
気づかなかった。

 確かに、両隣の2数の和から2を引いたものは、真ん中の数の6倍に等しくなっている。

実際に、  1+  49−2=  48=6×  8

        8+ 288−2= 294=6× 49
       49+1681−2=1728=6×288

       ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

このことから、  n+2+ an − 2 =6an+1

という漸化式が成り立つことが推測される。

 ただ問題は、最初のいくつかの項で成り立つからといって、それを一般化してよいかどうか

である。その証明は、私自身まだ得ていない。今後の研究課題として残しておこうと思う。

 ここでは、未菜実さんの結果を用いて、一般項 a (n≧3)を求めてみた。

   

ただし、α=3+2、β=3−2 とする。


(参考) 未菜実さんから、次のようなホームページがあることを教わりました。

     オンライン整数列大事典・・・検索ページのみ日本語で、あとは全部英語です!

    このホームページで、「1,8,49」 と入力して検索をかけると、上記の問題が出現
   する。記述されていることから、上記の漸化式は常に成り立つことが分かる。

   (いろいろなページを参照していて、まだ全貌を把握しきれていません。詳しいコメント
    は控えたいと思います。有用なホームページを紹介して頂いた未菜実さんに感謝し
    ます。)


(再追記) 広島工業大学の大川研究室より、上記の漸化式は、ペル方程式の解を利用し
      て求められること、そして、実際の求め方をご教授いただいた。

  寄せられた解法を、私なりに咀嚼して、以下のようにまとめてみた。以下の解答は、全
 面的に大川研究室に依るところ大である。大川研究室に感謝したい。

 自然数の 1 から m までの和が平方数になるとき、m を小さい順に並べて、数列 { a
を作る。和の公式から、
               a(a+1)=2・(平方数)

となる。明らかに、a と a+1 は互いに素であるので、

      a=A2、a+1=2B2  (A、Bは互いに素な自然数) (→ A2−2B2=−1)
 または、
      a=2B2、a+1=A2  (A、Bは互いに素な自然数) (→ A2−2B2=1)
とおける。

 このとき、(X,Y)=(A,B)は、ペル方程式2−2Y2=±1 の解となる。

このペル方程式の最小の解は、(1,1)である。

解 (1,1) は、等式 X2−2Y2=−1 を満たす。また、a1=12=1 である。

また、ペル方程式の性質から、ペル方程式の全ての解は、(1+) により与えられる。

すなわち、 (1+)=x+y とおくと、 A=x 、B=y である。

しかも、 x+y=(1+) から、 x−y=(1−) なので、

  2−2y2=(−1)  が成り立つ。

ここで、

 (1+)n+1=(1+)(1+)=(x+y)(1+)=x+2y+(x+y)

なので、
          xn+1=x+2y  、  yn+1=x+y
が成り立つ。

 このとき、   xn+2=xn+1+2yn+1=x+2y+2(x+y)=3x+4y

          yn+2=xn+1+yn+1=x+2y+x+y=2x+3y
である。

 以上から、n が偶数のとき、x2−2y2=(−1)=1 なので、a=2B2=2y2

        n が奇数のとき、x2−2y2=(−1)=−1 なので、a=A2=x2

したがって、n が偶数のとき、

     n+2−6an+1+ an = 2yn+22−6xn+12+2y2

                  = 2(2x+3y)2−6(x+2y)2+2y2

                  = 2x2−4y2

                  = 2(x2−2y2)

                  = 2  (← x2−2y2=1)

同様にして、 n が奇数のとき、

     n+2−6an+1+ an = xn+22−6・2yn+12+x2

                  = (3x+4y)2−12(x+y)2+x2

                  = −2x2+4y2

                  = −2(x2−2y2)

                  = 2  (← x2−2y2=−1)

 以上から、何れにしても、漸化式 n+2−6an+1+ an =2 が成り立つ。

(注意) 漸化式の形は、n = 1,2,3 の場合から、成り立つことが予想され、上記の証明
     は、そのことを一般的に示したものである。
      なぜかしら、「n+2−6an+1+ an」が天下り的に見えるが、これは、実験の結果
     であって、決して天下り的ではないことに注意する。

(追記) 平成20年12月4日付け

 北里大学理学部・海洋生命科学部の2008年度入試問題に、上記の話題が出題された。

 問題文が割と長文で、何が問題なのかと突っ込みたくなるような饒舌すぎる出題であるが、
そこを我慢して読み解くと、「ペル方程式」に関する問題で、理論的背景を知っていれば楽し
い話題の問題に仕上がっている。

 ただ、受験生にとっては意味不明な説明が続き、自分が何をどう計算すればよいのやら
結構まごつくような出題となっている。そう言う意味では、入試問題としてはちょっと専門的
すぎるのかなという印象である。

 一部文言等を修正して検討してみよう。

(1) 段を増やしながら、碁石を正三角形状に並べるとき必要な碁石の数を「三角数」とい

  い、第 n 番目のそれを T で表す。このとき、一般の n に対して、T を求めよ。

  (もちろん、T=n(n+1)/2 が答え )

(2) 同様にして、碁石を正方形状に並べるとき必要な碁石の数を「四角数」といい、第 n

  番目のそれを S で表す。このとき、一般の n に対して、S を求めよ。

  (もちろん、S=n2 が答え )

(3) 三角数でありかつ四角数である数を仮に「三角四角数」と呼ぶ。明らかに数「1」は、

  三角四角数の最初のものである。一般の三角四角数を求める方法を考えよう。

   ある自然数 m 、 n の組によって、S=T となっていたとする。

  このとき、ある変数変換によって、等式 S=T は、

       x2−2y2=1 (x、y は自然数)

  と書き直される。

  (もちろん、(2n+1)2−2(2m)2=1 から、 x=2n+1、y=2m と変数変換すればよい )

   このとき、 (x+y)(x−y)=1 と因数分解できるので、両辺を平方して、

      (x+y)2(x−y)2=1

  少し変形して、 X2−2Y2=1 を得る。このとき、X、Y を x 、 y を用いて表せ。

  (もちろん、(x2+2y22−2(4xy)2=1 から、 X=x2+2y2、Y=4xy と変数変換すればよい )

  この式から、自然数の組(X、Y)は、方程式 x2−2y2=1 の新しい解となることが分か

 る。よって、これから新しい三角四角数が得られることになる。

(4) 一般の三角四角数を与える( x ,y )は、以下のようにして得られることが知られ

  ている。
         x=( x11  ( n=1、2、・・・ )

   ここで、 x1、y1 は、三角四角数の最初のもの「1」を与える数の組である。

  x1、y1 を求めよ。

  (もちろん、m=1、n=1 の場合なので、x1=3、y1=2 が答え )

(5) (4)の式は次のように漸化式の形にも書くことができる。

     xn+1n+1=( 3+2)( x

   ここで、 x、y、xn+1、yn+1 が自然数であることに注意すれば、この関係式は、

  xn+1、yn+1 を x、y で表した式に書き直すことができる。その関係式を求めよ。

  (もちろん、xn+1=3x+4y、yn+1=2x+3y が答え )

(6) こうして得られる三角四角数は、初項を1として、次からを順に書け。

  (6)の解答: x1=3、y1=2 より、

             x2=3x1+4y1=17 、 y2=2x1+3y1=12

          なので、 12=2m より、 m=6

           よって、2番目の三角四角数は、 62=36

           同様にして、 x2=17 、 y2=12 より、

             x3=3x2+4y2=99、 y3=2x2+3y2=70

          なので、 70=2m より、 m=35

           よって、3番目の三角四角数は、 352=1225

           同様にして、 x3=99 、 y3=70 より、

             x4=3x3+4y3=577、 y4=2x3+3y3=408

          なので、 408=2m より、 m=204

           よって、4番目の三角四角数は、 2042=41616

         以上から、 1 , 36 , 1225 , 41616 , ・・・  (終)


(コメント) ペル方程式の問題としては、基本的ですね!


 この話題について、攻略法さんが考察された。(平成22年12月15日付け)

問 題  Nまでの自然数を一列に並べる。ある数字の「左側の数字の和」と「右側の

    数字の和」が等しくなるようなNと「ある数字」はいくつか?


(例) N=8 の場合、並びは、「 1,2,3,4,5,6,7,8 」 である。

   1+2+3+4+5=7+8 なので、ある数は、「6」である。

(解1) 並びを、「 1,2,3,・・・,k,・・・,N 」とする。

 左辺の並び 「 1,2,3,・・・,k−1 」 の和は、 (k−1)k/2

 右辺の並び 「 k+1,k+2,k+3,・・・,N 」の和は、 N(N+1)/2−k(k+1)/2

 左辺=右辺より、 (k−1)k/2=N(N+1)/2−k(k+1)/2

  ∴ k2=N(N+1)/2

 以下、N までの和が平方数になるものを見つければよい。

  N=1 のとき、 1・2/2=1=12 より、 k=1

  N=8 のとき、 8・9/2=36=62 より、 k=6

  N=49 のとき、 49・50/2=1225=352 より、 k=35

  N=288 のとき、 288・289/2=41616=2042 より、 k=204

   ・・・・・・・・・  (終)

(解2)(ラマヌジャンによる連分数での解答より)

 並びを、「 1,2,3,・・・,k,・・・,N 」とする。

の連分数近似を a/b とすると、 k=ab 、N=Min(a2,2b2)となる。

例 =[1;2,2,2,・・・] である。

 [1;2] の場合 a/b=3/2 より、 k=3×2=6 、N=Min(32,2・22)=8

∴ 並びは、「 1,2,3,4,5,(6),7,8 」

[1;2,2] の場合 a/b=7/5 より、 k=7×5=35 、 N=MIN(72,2・52)=49

∴ 並びは、「 1,2,・・・,34,(35),36,・・・,49 」

[1;2,2,2] の場合 a/b=17/12 より、 k=17×12=204 、

                           N=Min(172,2・122)=288

∴ 並びは、「 1,2,・・・,203,(204),205,・・・,288 」

以下同様に続く。  (終)

その他に

(解3) (k−1)k/2=n(n+1)/2−k(k+1)/2 より、n についての2次方程式

   n2+n−2k2=0 (k=1,2,3,…) に対して、0より大きい整数の解をもてばよい。

類 題  Nまでの自然数を一列に並べて、左と右の2つに分ける。

   「左側の数字の和」と「右側の数字の和」が等しくなるようなNとその分割位置は?


 換言すれば、

    1+2+3+・・・+k=(k+1)+(k+2)+(k+3)+・・・+N

  を満たす自然数k,N を求めよ。


(解1) 左辺=右辺より、 k(k+1)/2=N(N+1)/2−k(k+1)/2

   よって、n についての2次方程式 n2+n−2k(k+1)=0 (k=1,2,3,・・・) に

  対して、0より大きい整数の解をもてばよい。  (終)

(解2) 「左辺が全体の和の半分に等しい」より、 k(k+1)/2=n(n+1)/4

    kは、SQR(n(n+1)/2)の位置と推定される。

  具体的に求めると、

   1+2=3 (=3 )

   1+・・・+14=15+・・・+20 (=105)

   1+・・・+84=85+・・・+119(=3570)

   1+・・・+492=493+・・・+696(=121278)

   1+・・・+2870=2871+・・・+4059(=4119885)

   1+・・・+16730=16731+・・・+23660(=139954815)

 など  (終)


 次の問題も表現は違うが冒頭の問題と同趣旨の問題である。

問題 碁石がn個あり、これは、正三角形状にも正方形状にも並べることができる。このと
   き、nの値と正三角形の底辺の個数a、正方形の1辺の個数bを求めよ。

(解) 題意より、 n=a(a+1)/2=b2 で、a2+a−2b2=0

  すなわち、 (2a+1)2−2(2b)2=1 が成り立つようなa、bの値を求めればよい。

 このペル方程式の一般解は、 2a+1+(2b)=(1+ (m:自然数)

 2bが偶数なので、m=2、4、6、・・・とすると、

m=2 のとき、 2a+1+(2b)=(1+2 即ち、2a+1+(2b)=3+2 より、 

  a=1、b=1  このとき、n=1

m=4 のとき、 2a+1+(2b)=(1+4 即ち、2a+1+(2b)=17+12 より、 

  a=8、b=6  このとき、n=36

m=6 のとき、 2a+1+(2b)=(1+6 即ち、2a+1+(2b)=99+70 より、 

  a=49、b=35  このとき、n=1225

 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


 「不思議な繋がり」と題して、GAIさんからのコメントです。(平成28年8月21日付け)

cosx
cos2x=2cos2x-1
cos3x=4cos3x-3cosx
cos4x=8cos4x-8cos2x+1
cos5x=16cos5x-20cos3x+5cosx

から、

f1(t)=t
f2(t)=2t2-1
f3(t)=4t3-3t
f4(t)=8t4-8t2+1
f5(t)=16t5-20t3+5t

とする。ここに、

a(1)=(f1(3)-1)/2=(3-1)/2=1
a(2)=(f2(3)-1)/2=(17-1)/2=8
a(3)=(f3(3)-1)/2=(99-1)/2=49
a(4)=(f4(3)-1)/2=(577-1)/2=288
a(5)=(f5(3)-1)/2=(3363-1)/2=1681

 このとき、実際

1=12
1+2+3+・・・+8=36=62
1+2+3+・・・+49=1225=352
1+2+3+・・・+288=41616=2042
1+2+3+・・・+1681=1413721=11892  (めでたし、めでたし)

さらに、(3+w)nを展開し、w2=8で置き換えると(複素数で、i2=-1 をw2=8 にする感覚)

(3+w)1=3+w
(3+w)2=9+6w+w2=9+6w+8=17+6w
(3+w)3=27+27w+9w2+w3=27+27w+9*8+8w=99+35w
(3+w)4=81+108w+54w2+12w3+w4=81+108w+54*8+12*8w+82=577+204w
(3+w)5=243+405w+270w2+90w3+15w4+w5=3363+1189w

これから、

((3+w)1-1)/2=(2+w)/2=1+w/2
((3+w)2-1)/2=(16+6w)/2=8+3w
((3+w)3-1)/2=(98+35w)/2=49+35w/2
((3+w)4-1)/2=(576+204w)/2=288+102w
((3+w)5-1)/2=(3362+1189w)/2=1681+1189w/2

 この結果のwの部分を外して(複素数での実数部に相当)

 1、8、49、288、1681  (めでたし、めでたし)


(コメント) 本当に不思議な繋がりですね!驚きました。GAIさんに感謝します。


 冒頭の問題の関連で、GAIさんからのコメントです。(平成28年8月22日付け)

 1からの平方数の和が平方数になるのは、

 12=12 、12+22+32+・・・+242=4900=702

だけしか見つけられないが、これ以上範囲を広げても存在しないことは証明できるのでしょう
か?


 DD++さんからのコメントです。(平成28年8月22日付け)

 リュカのキャノンボール問題ですね。その2つしか解はないと証明されているそうですが、証
明は大変そう。


 S(H)さんからのコメントです。(平成28年8月22日付け)

 1からの立方数の和が平方数、即ち、n2(n+1)2/4=m2 となるのは、たくさんある。
(→ 参考

 例えば、 13=12 、13+23=9=32 、13+23+33=36=62 、
      13+23+33+43=100=102 、13+23+33+43+53=225=152
      ・・・・・・・・・・・・・・・・


 GAIさんからのコメントです。(平成28年8月23日付け)

 たまたま、2つの平方和が立方数になるものを探していたら、「85、170、265」の数が特別
平方和と相性がよいことを見つけた。

85^3=51^2+782^2=170^2+765^2=210^2+755^2=285^2+730^2=323^2+714^2=413^2+666^2
  =478^2+621^2=510^2+595^2

170^3=170^2+2210^2=286^2+2198^2=506^2+2158^2=782^2+2074^2=890^2+2030^2
  =1090^2+1930^2=1190^2+1870^2=1462^2+1666^2

265^3=424^2+4293^2=795^2+4240^2=1160^2+4155^2=1565^2+4020^2=1908^2+3869^2
  =2277^2+3664^2=2628^2+3421^2=2915^2+3180^2

と、断トツにパターンが多い。この3例はお互い関連し合っているのか?また、もっと範囲を
広げた場合、これを越えるパターン数を持つものがあるのだろうか?
(自分のプロブラムでは今のところこれに勝る数を見つけていないので)

 背景にある理屈は何なんだろうか?


 S(H)さんからのコメントです。(平成28年8月23日付け)

 かなりあります。(→ 計算例


 DD++さんからのコメントです。(平成28年8月23日付け)

 65^3、130^3、145^3、185^3、221^3 等も多そうですが……。その先は、325^3とか。


 らすかるさんからのコメントです。(平成28年8月23日付け)

8通り: 65, 85, 130, 145, 170, 185, 205, 221, 260, 265, 290, 305, …
14通り: 325, 425, 650, 725, 845, 850, 925, 1025, 1300, 1325, …
32通り: 1105, 1885, 2210, 2405, 2465, 2665, 3145, 3445, 3485, 3770, …
56通り: 5525, 9425, 11050, 12025, 12325, 13325, 14365, 15725, 17225, 17425, …
80通り: 27625, …
128通り: 32045, 40885, …

 上にある数を素因数分解すると、

  (2^a)Π(p[k]^q[k]) (aは非負整数、p[k]は4n+1型の素数、q[k]は非負整数)

の形になっており、この指数との関係を調べてみると、

  [{Π(3q[k]+1)}/2]通り ([ ]はガウス記号)

となっていることがわかります。

 例えば、 5525=5^2*13*17 のとき、指数は、「2,1,1,0,0,…」なので、

[(3*2+1)(3*1+1)(3*1+1)(3*0+1)(3*0+1)…/2]=[7*4*4/2]=56通り

また、試しに、5*13*17*29*37=1185665で何通りになるかを数えてみると、確かに512通りに
なっていました。


 GAIさんからのコメントです。(平成28年8月24日付け)

 私のプログラムの方法では、ここまでのデータを揃えるまでには永遠の時間がかかりそう
です。なんと何通りの表現が可能かが式に出来るんですね。

 元はと言えばガウスの平方剰余やフェルマーの二平方定理、ヤコビの二平方定理等の派
生としての現象なのだろう。これから無数の方法で2つの平方和が構成できる立方数が存在
できるんですね!


 DD++さんからのコメントです。(平成28年8月25日付け)

 ヤコビの二平方定理そのものです。ヤコビの二平方定理をわかりやすく言えば、

 「自然数Nの正の約数のうち、4で割ると1余るものがa個、4で割ると3余るものがb個あると
すると、方程式 x2+y2=N の整数解は、4(a-b)個ある」

というもの。内容の簡素さの割りに証明は非常に難解です。

 例えば、85^3=5^3×17^3 なら、正約数は16個全て4で割ると1余るので、 x2+y2=85^3
の解は、4×16=64個。

 この中には、xの正負が異なるだけのもの、yの正負が異なるだけのもの、xとyが入れ替
わっただけのものがあるので、実質的なパターン数はその1/8で8個、というわけです。

 90^3=2^3×3^6×5^3 なら、正約数112個のうち、4で割ると1余るものが16個、3余るもの
が12個なので、 x2+y2=90^3 の解は、4(16-12)=16個。

 この中にはxの正負が異なるだけのもの、yの正負が異なるだけのもの、xとyが入れ替
わっただけのものがあるので、実質的なパターン数はその1/8で2個、というわけです。

 50^3=2^3×5^6 のような少し特殊なケースもあり、解は4×7=28個となり、8の倍数になりま
せん。

 これは、 x2+y2=50^3 の解の中に、x=y=250 といった特殊なものがあり、このパターンの
解だけxとyを入れ替えたものとペアになっていないため。同様に、片方が0なので符号を変え
たものとペアになっていないケースもあります。