三角形の形状2                              戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                       (平成28年4月18日付け)

 次の2つの等式を満たす△ABCはどんな三角形か。

sin3A+sin3B+sin3C=3sin(A+B+C)

cos3A+cos3B+cos3C=3cos(A+B+C)



































(答) A+B+C=π なので、2式は実質的に

  sin3A+sin3B+sin3C=0 、cos3A+cos3B+cos3C=-3

 sin3A+sin3B+sin3C
=2sin3(A+B)/2cos3(A-B)/2+sin(3π-3(A+B))
=2sin3(A+B)/2cos3(A-B)/2+sin3(A+B)
=2sin3(A+B)/2cos3(A-B)/2+2sin3(A+B)/2cos3(A+B)/2
=2sin3(A+B)/2(cos3(A+B)/2+cos3(A-B)/2)
=2sin3(A+B)/2・2cos3A/2・cos3B/2
=2sin3(π-C)/2・2cos3A/2・cos3B/2
=-4cos3A/2・cos3B/2・cos3C/2=0

 0<A、B、C<π より、 0<3A/2、3B/2、3C/2<3π/2 なので、

   3A/2=π/2 または 3B/2=π/2 または 3C/2=π/2

 すなわち、 A=π/3 または B=π/3 または C=π/3

 A=π/3 のとき、 cos3A+cos3B+cos3C=-3 に代入して、 cos3B+cos3C=-2

 -1≦cos3B、cos3C≦1 なので、cos3B=cos3C=-1 より、3B=3C=π から、 B=C=π/3

 B=π/3 、C=π/3 のときも同様である。

 以上から、△ABCは正三角形である。


 らすかるさんからのコメントです。(平成28年4月18日付け)

 A+B+C=πなので、3cos(A+B+C)=-3

よって、 cos3A=cos3B=cos3C=-1 なので、A=B=C=π/3

 これは第1式も満たすので、△ABCは正三角形である。


(コメント) cos3B+cos3C=-2 から、cos3B=cos3C=-1 を示したように、

  cos3A+cos3B+cos3C=-3 から、 cos3A=cos3B=cos3C=-1

がすぐに言えましたね!私の解答は、ちょっと遠回りしてしまいました。らすかるさんに感謝
いたします。