角の大きさ(2)                           戻る

 左下の△ABCにおいて、辺BAの延長線上に∠ACP=30°であるように点Pをとり、さら
に、辺CAの延長線上に∠ABQ=20°であるように点Qをとる。

 2点P、Qを結び、右下図の四角形を得る。
           

 このとき、∠CPQは何度になるであろうか?



















(答) この問題は、中学校数学の有名な難問として知られている。答えは、70度である。

   実際に、左下図のように、辺CP上に∠CBR=20°であるように点Rをとると、

    BC=BQ、BC=BR より、BR=BQ で、

    ∠RBQ=60° より、△QBRは正三角形である。

    また、∠PBR=∠BPR=40°より、△RPBは二等辺

    三角形で、RB=RP すなわち、RQ=RP

    よって、△RPQは二等辺三角形となる。

    ∠PRQ=40°なので、 ∠CPQ=70°となる。





(コメント:点Rをとって、正三角形QBRを作るという発想は面白いですね!)

(追記) 平成20年7月29日付け

 上記計算の途中結果から∠BPR=40°なので、∠BPQ=30°であることが分かる。

 また、∠BPR=40°ということを用いなくとも、点Rが△BPQの外心で、△QBRが正三
角形であることから、∠BPQ=30°になるということは一目瞭然だろう。

 ∠BPQの大きさを問う問題が、公庄庸三先生から頂いた「清風高校数学オリンピック」
の問題に取り上げられている。

 そこでは、上記の証明とは異なる方法で証明されている。

 左図のような等脚台形BCPSを作り、2点S、Cを結ぶ線分

とBPとの交点をRとおく。

 このとき、△BCRは正三角形となる。

 また、△BCQは2等辺三角形で、BC=BQ である。

 よって、BQ=BRから、△BQRは2等辺三角形で、

   ∠BRQ=80°となるので、 ∠PRQ=100°

 また、 △PRSは正三角形なので、∠PRS=60°

                   よって、 ∠SRQ=40°となる。

  また、∠RSQ=40°であるので、△SQRは2等辺三角形となり、 QS=QR

 SP=RP 、 PQは共通なので、 △PSQ≡△PRQ となる。

 よって、∠RPS=60°を線分PQは2等分するので、 ∠BPQ=30°となる。(証終)

(コメント) この証明も、ポイントは正三角形を上手く作るところですね!

 ∠BPQ=30°が分かれば、∠BPC=40°なので、∠CPQ=70°は明らかとなる。