意外なところに黄金分割                    戻る

 今、一つの線分を2つに分けることを考える。

       

 このとき、
         m : n = m+n : m

であるように分けると美しいと言われている。このような分割の仕方が黄金分割である。

 上記の比例式から、 m2−mn−n2=0 が成り立ち、比 m/n の値は、

               

となる。このおおよその値は、 1.618 である。

 この比のことを、黄金比という。

 黄金比が出現する一番有名な図形は、正五角形であろう。

 正五角形の一辺の長さに対する対角線の長さなど、至る所に黄金比が隠れている。それ
が正五角形に対してある種の畏敬の念を抱く所以であろうか?

 最近、次のような図形に対しても、黄金比が現れることを知った。

   左図では、半径 m の円Aの周上で、半径 n の円B
  が接している。

   円Aから円Bを取り除いた図形は月形になっている。

   この月形の図形の重心Cが、円Bの周上にあるもの
  とする。

   このとき、 比 m/n の値は、黄金比になる。

   実際に、確かめてみよう。




 図形の上下対称性から、月形の図形の重心Cは直線AB上にある。

点Aを支点として2つの図形B、Cはつりあっているので、

    π(m2−n2)×(2n−m)=πn2×(m−n)

これより、   m3−2m2n+n3=0   なので、  (m−n)(m2−mn−n2)=0

m≠n としてよいので、   m2−mn−n2=0

 よって、比 m/n の値は、
                   

 このことは、比 2m/2n を考えることにより、点Cは円Aの直径を黄金分割していることも
示している。

   さらに、左図のように円Aと円Bの接点Pを通る
  弦が2円A、Bと交わる点をそれぞれR、Qとする
  と、
      Qは弦PRを黄金分割している

  ことも分かる。

   証明は明らかであろう。

  (左図において、△PQC∽△PRDに注意)






 また、次のような図形に対しても黄金比が現れることに驚いてしまう。

   左図のような長方形ABCDにおいて、2点P、Q
  をそれぞれ辺BC、CD上にとる。

   このとき、3つの三角形

      △ABP 、 △PCQ 、 △QDA

  の面積が等しい場合を考える。



 条件より、 ax/2 = (b−x)(a−y)/2 = by/2  即ち、 ax = (b−x)(a−y) = by が成
り立つので、 y = (a/b)x を ax = (b−x)(a−y) に代入して整理すると、

     (b−x)2 = bx すなわち、 (b−x)2−x(b−x)−x2 = 0

このことから、 (b−x)/x の値は、
                        

 同様にして、 (a−y)/y の値は、 (a−y)2−y(a−y)−y2 = 0 より、

                        

 したがって、3つの三角形の面積が等しいとき、2点P、Qは、それぞれ辺BC、CDを黄金
分割していることが分かる。


(参考文献:アルプレヒト・ボイテルスパッヒャー、ベルンハルト・ペトリ 著
        柳井 浩 訳   黄金分割   (共立出版))


(追記) 平成26年7月28日付け

 これこれこういう条件だと黄金分割になるということは上記で示されたが、実際に与えられ
た線分を黄金分割するという問いに対しては無力である。

 ユークリッド原論第2巻11によれば、次のような作図法が知られている。



   与えられた線分ABを1辺とする正方形を作図し、辺AC
  の中点をMとする。

   辺CAの延長上にBM=MDとなる点Dをとる。

   ADを1辺とする正方形を作図すると、点Pが、線分AB
  を黄金分割する点となる。

  (作図の基本的な考え方は正5角形の作図と同様である。)







 実際に、AB=2a とおくと、BM=MD=a で、AD=AP=(−1)a

 したがって、BP=(3−)a なので、AP/BP=(−1)/(3−)=(1+)/2


(追記) 当HP読者のHN「H.N.」さんから、黄金分割に関する話題をメールで頂いた。
                                       (平成27年5月4日付け)

 図書館で見つけた本からの課題ですが、お知恵を拝借できませんでしょうか?

問題75 内接円の半径が1の二等辺三角形で、等辺の長さが最小のものを考える。
     三角形の高さはどのくらいか?

       (「黄金分割」 H.ヴァルサー著 蟹江幸博訳 日本評論社2002年刊 より)

 著者は、τ2 (ただし、τ=(1+)/2 :黄金比)という解答しか記していません。訳者
は、等辺をa、三角形の高さをhとして、a2=h(h-1)2/(h-2) を導き、それを微分することによっ
て解が示せるとしつつ、微分を 使わない解法を募集しておられます。著書の流れからして微
分を要求するようなところではないように私も感じます。

 貴サイトを通じて、ひろく意見を募っていただけましたら幸いです。


(コメント) 等辺の長さが最小のとき、高さが(黄金比)2になるという事実に興味を持ったの
      で計算してみた。

 等辺をa、三角形の高さをh、底辺を2xとすると、三平方の定理から、 a2=x2+h2

 また、三角形の面積の計算から、 2x・h/2=(a+a+2x)・1/2 より、 xh=a+x

これより、 x=a/(h−1) なので、 a2={a/(h−1)}2+h2

 すなわち、 a2{1−1/(h−1)2}=h2 より、 a2=h(h−1)2/(h−2)

 y=h(h−1)2/(h−2) とおく。題意より、 h>2 としてよい。

 hに関して微分すると、 y’=2(h−1)(h2−3h+1)/(h−2)2

 増減表により、 h=(3+)/2 のとき、y は極小かつ最小である。

 τ2={(1+)/2}2=(3+)/2 なので、以上から、等辺の長さが最小となる高さ

は、τ2 である。


 さて、微分を用いて結果は示されたものの、このことを微分を使わないで示そうとする場合
どのように考えればいいのだろうか?




    以下、工事中