今、一つの線分を２つに分けることを考える。
このとき、
ｍ ： ｎ ＝ ｍ＋ｎ ： ｍ
であるように分けると美しいと言われている。このような分割の仕方が黄金分割である。
上記の比例式から、 ｍ2−ｍｎ−ｎ2＝０ が成り立ち、比 ｍ/ｎ の値は、
となる。このおおよその値は、 １．６１８ である。
この比のことを、黄金比という。
黄金比が出現する一番有名な図形は、正五角形であろう。
正五角形の一辺の長さに対する対角線の長さなど、至る所に黄金比が隠れている。それ
が正五角形に対してある種の畏敬の念を抱く所以であろうか？
最近、次のような図形に対しても、黄金比が現れることを知った。
左図では、半径 ｍ の円Ａの周上で、半径 ｎ の円Ｂが接している。
円Ａから円Ｂを取り除いた図形は月形になっている。
この月形の図形の重心Ｃが、円Ｂの周上にあるもの
とする。
このとき、 比 ｍ/ｎ の値は、黄金比になる。
実際に、確かめてみよう。
図形の上下対称性から、月形の図形の重心Ｃは直線ＡＢ上にある。
点Ａを支点として２つの図形Ｂ、Ｃはつりあっているので、
π（ｍ2−ｎ2）×（２ｎ−ｍ）＝πｎ2×（ｍ−ｎ）
これより、 ｍ3−２ｍ2ｎ＋ｎ3＝０ なので、 （ｍ−ｎ）（ｍ2−ｍｎ−ｎ2）＝０
ｍ≠ｎ としてよいので、 ｍ2−ｍｎ−ｎ2＝０
よって、比 ｍ/ｎ の値は、
となる。
このことは、比 ２ｍ/２ｎ を考えることにより、点Ｃは円Ａの直径を黄金分割していることも
示している。
さらに、左図のように円Ａと円Ｂの接点Ｐを通る弦が２円Ａ、Ｂと交わる点をそれぞれＲ、Ｑとする
と、
Ｑは弦ＰＲを黄金分割している
ことも分かる。
証明は明らかであろう。
（左図において、△ＰＱＣ∽△ＰＲＤに注意）
また、次のような図形に対しても黄金比が現れることに驚いてしまう。
左図のような長方形ＡＢＣＤにおいて、２点Ｐ、Ｑをそれぞれ辺ＢＣ、ＣＤ上にとる。
このとき、３つの三角形
△ＡＢＰ 、 △ＰＣＱ 、 △ＱＤＡ
の面積が等しい場合を考える。
条件より、 ａｘ/２ ＝ (ｂ−ｘ)(ａ−ｙ)/２ ＝ ｂｙ/２ 即ち、 ａｘ ＝ (ｂ−ｘ)(ａ−ｙ) ＝ ｂｙ が成
り立つので、 ｙ ＝ (ａ/ｂ)ｘ を ａｘ ＝ (ｂ−ｘ)(ａ−ｙ) に代入して整理すると、
（ｂ−ｘ）2 ＝ ｂｘ すなわち、 （ｂ−ｘ）2−ｘ（ｂ−ｘ）−ｘ2 ＝ ０
このことから、 （ｂ−ｘ）/ｘ の値は、
となる。
同様にして、 （ａ−ｙ）/ｙ の値は、 （ａ−ｙ）2−ｙ（ａ−ｙ）−ｙ2 ＝ ０ より、
となる。
したがって、３つの三角形の面積が等しいとき、２点Ｐ、Ｑは、それぞれ辺ＢＣ、ＣＤを黄金
分割していることが分かる。
（参考文献：アルプレヒト・ボイテルスパッヒャー、ベルンハルト・ペトリ 著
柳井 浩 訳 黄金分割 （共立出版））
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