質問に対する回答(7)                  戻る

 平成17年4月4日 当HPの掲示板「出会いの泉」に、two-well 様から質問があった。

質問内容

 積分
       

の値を求めよ。

(置換積分による解法)  x=tanθ とおくと、dx=(tan2θ+1)dθ

 このとき、
        
 ここで、
        
なので、
        
である。

(留数計算による解法) 
                
として考える。

 z を複素数として、
               
とおく。

 このとき、 z=i は、上半平面における唯一の特異点で、2位の極である。

留数を求めると、

     

である。

したがって、 r>1 として、実軸上の区間 [−r ,r ] と 半径 r の上半円 C で結ばれる曲

線 C に対して、
              
が成り立つ。

 ここで、
          

において、  C :|z|= r より、

            
なので、

        

以上から、 2I = π/2  となり、 I = π/4 である。

(コメント) two-well 様、このような解答でいかがでしょうか?