質問に対する回答(5)                  戻る

 平成17年3月2日 当HPの掲示板「出会いの泉」に書き込みのあった質問に対する回
答です。

質問内容  (S さん)

 空間に正方形があり、これを一つの平面に正射影すると、2辺の長さが 2
内角の1つが、30°である平行四辺形になる。
  [1] 平行四辺形の2つの対角線の長さを求めよ。
  [2] 正方形の面積を求めよ。

解答

[1] は、余弦定理を用いて解決される。対角線の長さを K、L とおくと、

  K2=(22+(2−2×2××cos30°=8+6−12=2

  L2=(22+(2−2×2××cos150°=8+6+12=26

   よって、 対角線の長さは、  と 

[2] は、2つの可能性が考えられる。

 空間にある正方形の最下点が、内角30°の平行四辺形の頂点の直上にある場合と内
角 150°の平行四辺形の頂点の直上にある場合とである。

 これらを図示すれば、下図のようになる。(正方形の一辺の長さ : X)

図1 図2
           

 図1の場合、BP2=X2−6 、DR2=X2−8 なので、直角三角形AQCにおいて、三平方
の定理を用いれば、

       (2+(2=(X)2

 ところが、この式を満たす実数Xは存在しないので、図1の場合は起こりえない。

 図2の場合、BP2=X2−8 、DR2=X2−6 なので、直角三角形AQCにおいて、三平方
の定理を用いれば、

       (2+(2=(X)2

これより、 2+X2−8+2+X2−6=2X2 なので、

           =6

両辺を平方して整理すると、  (X22−14X2+12=0

 X2≧8 に注意して、 X2

 以上から、求める正方形の面積(=X2)は、  となる。


(コメント) 書き込みをしていただいた S さん、上記の解答でいかがでしょうか?