質問に対する回答(3)                  戻る

 平成15年11月15日 当HPの掲示板「出会いの泉」に、「困ってます」さんという方から、
次のような書き込みがあった。

 『 m は、次の等式を満たす4以上の整数とする。

     

  このとき、m−n+n−1 は偶数であることを示せ。』

 当初掲示板に書かれたシグマの式に違和感があったので、質問をされた方に伺ったとこ
ろ、上記の式であることを確認した。

 次のような解答例を、当HPの一応の回答としたい。

   

であるので、条件式の左辺を計算すると、

        

となる。したがって、
               

を満たす m の値を求めればよい。両辺の分母を払って、

           (n2−n−2)(m−1)=(n2−n)(m−3)

これより、 m=n2−n+1 を得る。すなわち、m−1=n2−n=n(n−1)

このとき、 m−n+n−1

     = m−1−(n−n)

     = (m−1)(mn-1+mn-2+・・・+1)−n(n−1)(nm-2+nm-3+・・・+1)

     =n(n−1)(mn-1+mn-2+・・・+1)−n(n−1)(nm-2+nm-3+・・・+1)

ここで、 n(n−1) は連続する2整数の積なので、必ず偶数となる。

したがって、m−n+n−1 は偶数である。(終)

 以上の解答で、「困ってます」さん、よろしいでしょうか?


(追記) 平成18年9月28日付で、T.S.さんからメールを頂いた。上記の証明をもう少し
     簡略化するもので、私自身その発想に感動した。T.S.さんに感謝したい。

 上記の証明で、「 m−1=n2−n=n(n−1) 」を活用して、

       −n+n−1 は偶数である

ことを証明しているが、「 m は奇数 」であることを知れば、次のようにも証明できるとの

ことである。

(別証) m は奇数なので、 m−1 は偶数である。

    また、 n の値によらず、常に n−n は偶数である。

    よって、 m−n+n−1 は偶数である。(終)

(コメント) 鮮やか! 簡潔で美しいですね。上記の証明では、m−1=n(n−1) の形に
      とらわれて変な計算をしてしまいました。