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 当HPの掲示板「出会いの泉」に、当HP読者のHN「hasu」さんより、書き込みがあった。
                                       (平成24年7月7日付け)

  何だかよく分からないけど、かなり綺麗な式を見つけましたが、いくら頑張っても証明でき
ません。どなたか証明が分かりませんでしょうか?

 θ√(4−θ2)/4cos-1(θ/2)=(θ/2){√(2+θ)/2}{√(2+√(2+θ))/2}……

パソコンで確かめましたので合っていると思います。



 式が長いので、見やすくしてみようと思った。以下は、その計算。

 F(θ)=θ/2 とおくと、 √(2+θ)/2= F(√(2+θ))

 そこで、 G(θ)=√(2+θ) とおくと、 √(2+θ)/2=G(θ)/2=FG(θ)

 同様にして、 √(2+√(2+θ))/2=√(2+G(θ))/2=G2(θ)/2=FG2(θ)

となる。以下、同様にして、元の等式は、

   √(4−θ2)/{2cos-1(θ/2)}=FG(θ)・FG2(θ)・・・・

と書き換えることができる。


 上記の形で、らすかるさんが証明されました。(平成24年10月13日付け)

(証明) θ=2t (ただし、-1<t<1 ) とおくと、

   √(1−t2)=cos-1t・FG(2t)・FG2(2t)・・・・

 ここで、cos-1t=x とおくと、cosx=t (0<x<π) で、

  FG(2t)=√(1+cosx)/=√(2cos2(x/2))/=cos(x/2)

  FG2(2t)=√(2+√(2+2cosx))/2=√(2+2cos(x/2))/2=cos(x/4)

    ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

より、 sinx=x・cos(x/2)・cos(x/4)・cos(x/8)・cos(x/16)・・・・

と書き換えることができる。この式は、

 sinx=2sin(x/2)cos(x/2)

    =4sin(x/4)cos(x/4)cos(x/2)

    =8sin(x/8)cos(x/8)cos(x/4)cos(x/2)

   ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


    =2n・sin(x/2n)・cos(x/2n)cos(x/2n-1)・・・cos(x/4)cos(x/2)

    =x・[{sin(x/2n)}/{x/2n}・cos(x/2n)cos(x/2n-1)・・・cos(x/4)cos(x/2)

より、n→∞とすれば得られる。 (証終)


(コメント) 鮮やかな証明ですね!らすかるさんに感謝します。


 空舟さんからのコメントです。(平成24年10月14日付け)

 漸化式 an+1 = √(1+an)/ (a0>0) において、a0≦1 のとき、a0=cosx とおくと、

らすかるさんの証明で示されたように、半角公式により帰納的に an=cos(x/2n)  と一般

項を表すことができますが、一方、 a0>1 のときは、a0=(e+e-x)/2 とおくと、帰納的に

  an=(ex/2n+e-x/2n)/2 となります

(関数 (e+e-x)/2 は、cosh(x) と呼ばれる双曲線関数で、複素関数に拡張した時、
cosh(ix)=cosx の関係です。)



   以下、工事中!