質問に対する回答(23)                    戻る

 当HPの掲示板「出会いの泉」に、当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんより、書
き込みがあった。(平成24年5月31日付け)

 面白い等式が成立するパターンとして、

   53=62+17・12  、532=192+17・122  、534=10072+17・6362

  149=92+17・22  、1492=132+17・362  、1494=218632+17・9362

  157=22+17・32  、1572=1492+17・122  、1574=233932+17・18842

  281=32+17・42  、2812=2632+17・242  、2814=739032+17・67442

  293=152+17・22  、2932=1572+17・602

まで見つけて、
          2934=x2+17・y2

となるはずなんですが、最後のx、yが何かをなかなか見つけられずにいます。(コンピュータ
ーでランダムに探していますが、いろいろな範囲で調査しても引っかかりません。)

 プログラムに詳しい方、このx、yの値を教えて下さい。また、これが成立する理由がわかれ
ば知りたいです。


 空舟さんからのコメントです。(平成24年5月31日付け)

 今まで何度か話題にした2次体のノルムです。x=a+b√q の「ノルム」を |x|=a2-q・b2
定めると、|x・y|=|x|・|y|が成り立つというのが本質です。

 15+2√-17 のノルムが293というわけですから、(15+2√-17)4=-36551+18840√-17 のノ
ルムが2934になります。すなわち、 x=36511 、y=18840


 GAI さんからのコメントです。(平成24年6月1日付け)

 現在数論入門を読みながら実験してみている状態です。いろいろな概念が出てきて、全体
の繋がり方がまだ見えないのでびっくりするような質問をするかと思いますが、大目にみて下
さい。

 空舟さんの指摘で、2次体の元のノルムで理解されるとヒントを受けたので、3乗の部分も
含め調査してみました。ところが、今度は、3乗、4乗の部分が2通りの解が存在してくること
は(1乗、2乗の部分はいくら探しても他の解は存在しない!)、いったい何が起こっているの
でしょうか?

 なお、最後の「2934」の部分のもう一つの解(たぶん存在するはず!)を探しきっておりま
せん。


   53=62+17・12  、532=192+17・122  、

   533=902+17・912=3182+17・532  、534=10072+17・6362=20872+17・4562

  149=92+17・22  、1492=132+17・362  、

  1493=11072+17・3502=13412+17・2982  、1494=218632+17・9362=19372+17・53642

  157=22+17・32  、1572=1492+17・122  、

  1573=9102+17・4232=3142+17・4712  、1574=233932+17・18842=197532+17・35762

  281=32+17・42  、2812=2632+17・242  、

  2813=24212+17・9802=8432+17・11242  、2814=739032+17・67442=593772+17・126242

  293=152+17・22  、2932=1572+17・602

  2933=3152+17・12142=43952+17・5862  、2934=365112+17・188402=x2+17・y2


 空舟さんからのコメントです。(平成24年6月1日付け)

 x=15+2√-17 のノルムが293ということは、y=15-2√-17のノルムも293です。xy=293に注
意してください。

 さて、x4のノルムが2934になるのは指摘した通りですが、x3yのノルムも2934にになり、そ
れがもう1つの解を与えますが、xy=293なので、これは、293x2に等しく、実は割と自明なの
です。

 また、293=152+17・22の両辺に2932を掛けることで、2933=43952+17・5862が得られており、
2932=1572+17・602の両辺に2932を掛けることで、2934=x2+17・y2が得られるでしょう。即ち、
x=157・293=46001、y=60・293=17580。



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