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 当HPの掲示板「出会いの泉」に、当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんより、書
き込みがあった。(平成24年3月9日付け)

 ある疑問です。

 gcd(x,y) (整数xとyの最大公約数)の記号で、gcd(n5+5,(n+1)5+5)の調査をすると、

n=533360 の一つだけが、 gcd=1968751 の判定が出る。

 これは論理的になにが起こっていることなのか教えて下さい。


 空舟さんからのコメントです。(平成24年3月9日付け)

 「resultant(x^5+5,(x+1)^5+5,x),factor;」と打ち込むと、1968751なので、公約数を持つなら、
1968751のみ。どんな時に大きな素数のみになるかの背景は難しそうです。投稿と同じこと
をすれば、公約数を持つnは、1次合同式で求められるでしょう。


 らすかるさんからのコメントです。(平成24年3月10日付け)

 空舟さんが書かれているように、n5+5 と (n+1)5+5 の最大公約数は、1か1968751です。

 n5+5≡0 (mod 1968751) の解は、

  n≡96502、533360、533361、1066696、1707583 (mod 1968751) ですから、

 n5+5 と (n+1)5+5 がともに、1968751で割り切れるのは、n≡533360 (mod 1968751) のとき
のみです。

 よって、 n=533360,2502111、4470862、… のとき、最大公約数は、1968751

       その他のとき最大公約数は、1  となります。



   以下、工事中!