質問に対する回答(15)                    戻る

 当HPの掲示板「出会いの泉」に平成24年3月3日付けでHN「GAI」さんが、次のような質
問を書き込まれた。

 カタラン予想(2002年にミハイレスクにより証明)

 不定方程式 xa−yb=1 において、x、a、y、b>1を満たす自然数解の組み合わせは、

 x=3、a=2、y=2、b=3 だけである。

 これを真似て、ガウス整数(a+b・i a、bは整数)まで数を広げて、

 2つのガウス整数 Z,Wで、Z2−W3=i (虚数単位)や Z2−W3=-i 、Z2−W3=-1

の条件を満たすものがあるかご存知の方お知らせ下さい。また、存在するなら、具体的な

Z,Wを教えてください。



 この質問に対して、空舟さんが考察されました。(平成24年3月3日付け)

 Z、W の実部、虚部が100以下の範囲でちょっとしらみつぶしに調べてみました。

<script>var d2=[],d3=[];
function t2(x,y){d2[[x,y]]=true;
if(d3[[x+1,y]]||d3[[x-1,y]]||d3[[x,y+1]]||d3[[x,y-1]])
document.write("["+x+","+y+"], ");}
function t3(x,y){d3[[x,y]]=true;
if(d2[[x+1,y]]||d2[[x-1,y]]||d2[[x,y+1]]||d2[[x,y-1]])
document.write("["+x+","+y+"], ");}
for(a=0;a<100;a++){for(b=0;b<=a;b++){
var a2=Math.abs(a*a-b*b),b2=2*a*b,
a3=Math.abs(a*a*a-3*a*b*b),b3=Math.abs(3*a*a*b-b*b*b);
t2(a2,b2); t3(a3,b3); t3(b3,a3);}}
</script>

出力は [1,0], [1,0], [0,1], [0,2], [9,0], [0,12168], でした。

 確かに、12168=23・32・132、 12167=233 なので、

   12168i=(78+78i)2 、 12167i=(-23i)3

ということになります。なかなか自明でない解があるようです。


 S(H)さんが類似問題を提起されました。(平成24年3月4日付け)

 整( Z ,Z[i]....etc) 係数多変数高次不定方程式の具体例です。

 Z[i] に於ける不定方程式の解を幾つか求めて下さい。

(1)  Z2 - W3= 260075 + 284642・I

(2) (2 + 8・I)Z7 - W3 = 9738768178276888 - 5580585517745774・I

(此処に、2 + 8・I はガウス素数ではなく、{{-I, 1}, {1 + I, 2}, {1 + 4・I, 1}} です。)

(3) 1111111111111111111・Z7-W3=-411227905033269999958877209242891
                           - 1455413667650415555410014188525996・I

(此処に、1111111111111111111 は、Zに於いて素数で、Z[i]においても素数です。)

  1111111111......111111111・Z7-W3=a+b・i (a+b・i∈Z[i]) で問題を創作して下さい。

(→ 参考:「Catalan's Conjecture」)

 上の各問を、「Eisenstein Integer」に改竄して考察願います。(→ 参考:「Eisenstein Prime」)


 らすかるさんからのコメントです。(平成24年3月4日付け)

 実部、虚部を10000以下まで広げて調べても、他の解は見つかりませんでした。もしかした
ら非自明解は、 (78+78i)2-(-23i)3=i だけかも知れませんね。


 空舟さんからのコメントです。(平成24年3月4日付け)

 そうなると、そんな気がします。平方数、立法数は原点から離れていくと予想以上にまばら
でした。

 S(H)さんの問(1)に対しては、しらみつぶし法 により、

 (117+86・i)2 = 20124・i+6293 、(-69-19・i)3 = -264518・i-253782 なので、

   (117+86・i)2-(-69-19・i)3= 260075 + 284642・i

を得ました。(2)(3)はちょっと...。


 S(H)さんからのコメントです。(平成24年3月4日付け)

 代数曲線 k[X,Y]/<27X6 + 54・I・X4 + 36・I・Y3X2 - 27X2 + 4・I・Y6 -  4Y3> (kは複素数体)
の双対曲線を導出過程も明記し求めて下さい。(おそらく世界初の問題です!)

 k[X,Y]/<f*[X,Y]>  f*[X,Y]=________________________.(この方は、グラフ化可)

 f*[X,Y]=0 を満たすガウス整数解は?

 「Catalan's Conjecture」の(3)を凝視し、世紀の予想

   非自明解は、(78+78i)2-(-23i)3=i  だけかも知れない

の真偽を、「PARI/GP」等を駆使し、歴史に残る仕事を為して下さい。