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 平成20年2月21日 高校3年の受験生の方からメールをいただいた。

 次の問題に悩んでいるという。

問 題  a = logx の実数解の個数を求めよ。

 悩める受験生を励ますために解いてみた。

(解) 底の条件から、 a>0 (ただし、a≠1)である。

  2つの場合に分けて考えることにする。

 (1) a>1 のとき、 y = a は下に凸、 y = logx は上に凸の関数で、ともに増加

  関数であり、しかも、直線 y = x に関して対称である。このとき、2曲線の交点は必ず

  直線 y=x の上にあるので、

    = logx の実数解の個数 と a = x の実数解の個数 は等しい

  と言える。

  よって、a = x の両辺の対数をとって、  x・log a = log x  から

       

  したがって、左辺のグラフと右辺のグラフの交点の数を調べればよい。

       の導関数は、  

   y’=0 を解いて、 x=e となる。

  0<x<e で、y は単調に増加し、x>e で単調に減少する。

  さらに、
               

  よって、
        

  のグラフは下図となる。



 このグラフと、x 軸に平行な直線 y = log a (>0) との交点の数を調べる。

  上図より、

   0<log a <1/e すなわち、1<a< のとき、 交点は、2個

   log a = 1/e すなわち、 a= のとき、 交点は、1個

   log a > 1/e すなわち、 a> のとき、 交点は、0個

 (2) 0<a<1 のとき、 y = a と y = logx はともに下に凸の関数で、ともに減少

  関数であり、しかも、直線 y = x に関して対称である。このとき、2曲線の交点は必ず

  しも直線 y=x の上だけにあるとは限らない。

   例えば、a=0.02 のときは下図のようになり、交点は 3個ある。(微妙ですね!)

       

   y = a のグラフと直線 y=x は必ず 1点で交わるので、y = a と y = logx の

 交点は少なくとも 1個はあることになり、さらに、グラフの特徴から、交点の数は、1個ま

たは3個である。

  いま、2つの曲線の交点で、直線 y=x 上にない点( α , aα )が存在するための a の

 条件を求めたい。この条件を満たすとき、2つの曲線の位置関係は下図となる。

          

 直線 y=x 上の点( m , m )において、2つの曲線は交わるものとする。このとき、条件

を満たすためには、点( m , m )における2つの曲線の接線の傾きについて、

        

が成り立てばよい。このとき、 a=m 、 log a<0 であることに注意して、

        m・loga<−1 すなわち、 log m<−1

 このとき、 0<m<1/e となる。

 ここで、 a=m より、 m・log a=log m であり、

       
から、関数
       

のグラフを活用して、 log a<−e  となる。このとき、 0<a<e−e が成り立つ。

 よって、

   0< a <e−e のとき、 交点は、3個

   e−e≦ a <1 のとき、 交点は、1個

 以上から、求める実数解の個数は、

   0< a <e−e のとき、3個

   e−e≦ a <1 のとき、1個

      1<a< のとき、2個

      a= のとき、1個

      a> のとき、0個

となる。

(コメント) この問題は、数学Vらしい問題ですね!でも、完全解答を書くのは、現役の高
      校生にとっては難しそうな...予感。

 平成20年6月29日付けで、HN「だるまにおん」さんから解答の不備のご指摘を頂き、修
正させていただきました。(上記は修正済み)。また、当HPがいつもお世話になっている、ら
すかるさんからもご教示いただきました。だるまにおんさん、らすかるさんに感謝いたします。