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 平成18年3月30日 A.K さんという方からメールをいただいた。

 数学が最近妙に懐かしく思えてきたとのことで、家事の合間に昔の参考書などを引っ張り
出してはいろいろと触って楽しんでいるそうである。ちょうど 3次関数にたどり着いた時に、
四半世紀前に教師から出された問題を見つけたが、どうしてもわからなくて困っているとの
ことである。

問題  3次関数のグラフが、x 軸と異なる3点で交わるものとする。α 、β 、γ を、その交点
    の x 座標とする。このとき、そのうちの2つの値の平均である値を p として、x=p に
    おける接線は、選ばれなかった3つ目の交点を通ることを証明せよ。


          

 この問題は大変面白い性質で興味を引かれました。

(解) この問題について一般性を失うことなく、3次関数として、

       y = x3+ax2+bx+c

   としてよい。いま選ばれた2つの値を、α、βとすると、題意より、 2p=α+β

   また、解と係数の関係から、 α+β+γ=−a なので、

           γ=−a−2p

   が成り立つ。ところで、 x=p における接線の方程式は、

       y=(3p2+2ap+b)(x−p)+p3+ap2+bp+c

   すなわち、  y=(3p2+2ap+b)x−2p3−ap2+c

   このとき、3次関数 y = x3+ax2+bx+c と連立させて、

     x3+ax2+bx+c=(3p2+2ap+b)x−2p3−ap2+c

   すなわち、 x3+ax2−(3p2+2ap)x+2p3+ap2=0

   この3次方程式は、x=p を重解に持つので、 (x−p)2(x+a+2p)=0 より、

           x = p 、−a−2p

   よって、3次関数のグラフと接線との交点のx座標は接点を除いて、

           x = −a−2p = γ

   となる。以上から、

     3つの値のうちの2つの値の平均である値を p として、x=p における接線は、

    選ばれなかった3つ目の交点を通ることがいえる。(終)


(コメント) この問題は計算では示されたが、もっと別な観点からの解法が存在しそうな予
      感がある。これについては今後の研究としよう。もし、そのような解法を発見され
      た方、こちらまでメールにてご教示ください。

(追記) 平成18年4月4日付けで当HPの掲示板「出会いの泉」にハルさんという方から別
    解をいただいた。上記の煩雑な計算を整理・工夫されたものである。ハルさんに感謝
    いたします。

      3次関数を y=F(x)=(x−α)(x−β)(x−γ) として、p=(α+β)/2 とする。

     y=F(x) の (p ,F(p)) での接線を y=G(x) とすると、

     F(x)−G(x) は3次式で、(x−p)2 を因数に持ち、x3、x2 の係数は、 F(x) の

     x3、x2 の係数 1、 −(α+β+γ)=−2p−γ と等しいので、

       F(x)−G(x)=(x−p)2(x−γ)

     と決まる。この形から y=G(x) が (γ ,0) を通ることは明らか。


 当HP読者のHN「南東亜北西」さんから別解をいただきました。
                                     (平成28年11月13日付け)

 3次関数を f(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ) (a≠0) とおき、2p=α+βとします。

 このとき、 f’(x)=a{(x-α)(x-β)+(x-α)(x-γ)+(x-β)(x-γ)}において、

  f’(p)=a[(p-α)(p-β)+(p-β)(p-γ)+(p-γ)(p-α)]

ここで、 p-α=-(p-β) なので、 f’(p)=a(p-α)(p-β)

 (p,f(p))での接線の方程式は、y-f(p)=f’(p)(x-p) で、x=γ、y=0 のとき、

 左辺=y-f(p)=ーa(p-α)(p-β)(p-γ)

 右辺=f’(p)(x-p)=a(p-α)(p-β)(γ-p)=ーa(p-α)(p-β)(p-γ)

より、(p,f(p))での接線の方程式は、点(γ,0)を通る事が示された。


#この不思議な性質は、幾何的な側面は分かりませんが、f’(p)の2項と3項が打ち消し合う
処から来ているのではと思います。