ピタゴラスの定理とその証明　　　　　　　　　　　　　戻る

　中学３年で学習するピタゴラスの定理（三平方の定理）は、その後の数学の学習で繰り
返し用いられる重要な定理である。

　ピタゴラスの定理（三平方の定理）

直角三角形 　　左図のような直角三角形ＡＢＣにおいて、

　　　　　　　　　　ａ2＋ｂ2＝ｃ2

　が成り立つ。
　　逆に、上式が成り立つような３辺 ａ，ｂ，ｃ をもつ三
　角形は直角三角形である。

　昨今の生徒の意識として、結果さえ覚えればＯＫで、その成り立ち等に関心を払わない
場合が多い。

　このピタゴラスの定理（三平方の定理）の証明は、百以上知られている。その全てを紹
介することは困難であるが、定理が成り立つことを納得する一つの方法として、その証明
のいくつかに触れることは今後の学習において有効と考える。

　当ＨＰがいつもお世話になっている未菜実さんからの情報によると、

　　　　　　　　Ｐｙｔｈａｇｏｒｅａｎ　Ｔｈｅｏｒｅｍ

というＨＰサイトに、たくさんのピタゴラスの定理（三平方の定理）の証明がまとめられてい
るという。これは、３類生さんから質問があった、「よくこの証明方法は１００種類以上ある
と言われますが本当にそんなにあるのでしょうか？私は今までそんなにたくさん載せた本
やＨＰなどは見たことがないのですが・・・。」（平成１７年１２月７日付け）を受けてのもので
ある。情報を頂いて、未菜実さんに感謝いたします。


　このページでは、興味ある証明を徒然なるままに鑑賞していきたいと思う。

証明１　　　等積変形と三角形の合同により、下図の同じ色の部分の面積は等しい。
　　　　　　（この証明方法は、ユークリッドによるものと言われている。）

　　　　　　　　　

証明２　　　図形を組み替えることにより、下図の同じ色の部分の面積は等しい。
　　　　　　（この証明方法は、ピタゴラスによるものと言われている。）

　　　　　　　　

証明３　　　内接円の半径を巧妙に利用する証明。

　　 　　左図の三角形の面積は、

　　　　　　　　（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ/２＝ａｂ/２

　すなわち、　　（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝ａｂ

　　さらに、　接線の長さは等しいので、

　　　　　　ｃ＝（ａ−ｒ）＋（ｂ−ｒ）＝ａ＋ｂ−２ｒ

　よって、　ｒ＝（ａ＋ｂ−ｃ）/２　を上式に代入して、

　　　（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）＝２ａｂ
　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　したがって、　　　　が成り立つ。

証明４　　　合同な図形を巧妙に利用する証明。
　　　　　　（この証明方法は、レオナルド・ダ・ビンチによるものと言われている。）

　　左図において、四角形ＥＦＣＡ、ＦＤＢＣ、
　ＡＢＰＳ、ＰＱＲＳの面積は全て等しい。

　　このことから、五角形ＦＤＢＡＥと凹七角
　形ＡＣＢＰＱＲＳの面積は等しい。

　　ここで、△ＥＦＤと△ＱＣＲの面積は等し
　いことに注意。

　　よって、正方形ＤＢＡＥの面積は、
　２つの正方形　ＢＰＱＣ　と　ＡＣＲＳ　の
　面積の和に等しい。

証明５　　　台形の面積を利用する証明。
　　　　　　（この証明方法は、ガルフィールド（米第２０代大統領）によるものと言われている。）

　　 　　　　左図において、台形ＡＣＤＥの面積は、

　　　　（ａ＋ｂ）2/２　　で、また、

　　　　　台形ＡＣＤＥ＝２△ＡＢＣ＋△ＡＢＥ　

　　　　なので、

　　　　　（ａ＋ｂ）2/２＝ａｂ＋ｃ2/２

　　　　よって、　　が成り立つ。　

証明６　　　図形の組み替えによる証明。
　　　　　　（この証明方法は、バスカラ（インド）によるものと言われている。）



　　左図のように、頂点Ｃ、Ｅより、直交
　する２つの線分を引き、辺との交点を
　Ｄ、Ｆとする。

　　このとき、　ＣＤ＝ＥＦ＝ｃ　であり、
　ＣＦ＝Ｂ　である。

　切り分けられた図形をそれぞれ組み
　替えると、斜辺の長さを一辺とする正
　方形が埋め尽くされる。



　この図形の切り分けによる証明は、
他にもたくさん知られている。

　平成１７年７月２３日（土）、特番
「世界一受けたい授業」（日本テレビ系）
での秋山　仁　先生による「ピタゴラスの
定理」の証明もその一つだ。




　秋山先生は、何とわずか ７ 秒で、数式を使わずに、ピタゴラスの定理を証明された。

　　

　左の図形を回転させていくと、色分けされた図形が「ストン、ストン、・・・」と右図のように
入っていく様になっていた。

　上図では、いろいろな図形が絡んでいて分かりにくい印象があるが、最近、秋山　仁先生
がＮＨＫ高校講座「数学基礎」で非常に分かりやすく説明されていた。

　次の図が基本になるのだという。

　　　　　　　　　　

　上図の図形に対して、下図のように正方形の頂点を結んで新しい正方形を作図すると、
証明６の本質が見えてくる。（秋山先生に、謝謝！）

　　　　　　　　　　

証明７　　　相似比の利用による証明。
　　　　　　（この証明方法は、アインシュタインによるものと言われている。）

　　　左図において、　ａ ： ｃ ＝ ｃ ： ｘ
　　　　　　　　　　　　　 ａ ： ｂ ＝ ｂ ： ｙ
　　また、
　　　　　　　　　　ｘ＋ｙ＝ａ

　　なので、　ｃ2/ａ ＋ ｂ2/ａ ＝ ａ

　　より、　ａ2＝ｂ2＋ｃ2　が成り立つ。


（コメント）　非常にシンプルな証明ですね！