ピタゴラスの定理とその証明             戻る

 中学3年で学習するピタゴラスの定理(三平方の定理)は、その後の数学の学習で繰り
返し用いられる重要な定理である。

 ピタゴラスの定理(三平方の定理)

直角三角形   左図のような直角三角形ABCにおいて、

          2+b2=c2

 が成り立つ。

  逆に、上式が成り立つような3辺 a,b,c をもつ三
 角形は直角三角形である。

 ピタゴラスの定理の覚え方としては、

    斜辺の平方は他の2辺の平方の和

が最も優れているだろう。

 昨今の生徒の意識として、結果さえ覚えればOKで、その成り立ち等に関心を払わない
場合が多い。

 このピタゴラスの定理(三平方の定理)の証明は、百以上知られている。その全てを紹
介することは困難であるが、定理が成り立つことを納得する一つの方法として、その証明
のいくつかに触れることは今後の学習において有効と考える。

 当HPがいつもお世話になっている未菜実さんからの情報によると、

        Pythagorean Theorem

というHPサイトに、たくさんのピタゴラスの定理(三平方の定理)の証明がまとめられてい
るという。これは、3類生さんから質問があった、「よくこの証明方法は100種類以上ある
と言われますが本当にそんなにあるのでしょうか?私は今までそんなにたくさん載せた本
やHPなどは見たことがないのですが・・・。」(平成17年12月7日付け)を受けてのもので
ある。情報を頂いて、未菜実さんに感謝いたします。


 このページでは、興味ある証明を徒然なるままに鑑賞していきたいと思う。

証明1   等積変形と三角形の合同により、下図の同じ色の部分の面積は等しい。
      (この証明方法は、ユークリッドによるものと言われている。)

         

証明2   図形を組み替えることにより、下図の同じ色の部分の面積は等しい。
      (この証明方法は、ピタゴラスによるものと言われている。)

        

証明3   内接円の半径を巧妙に利用する証明。

     左図の三角形の面積は、

        (a+b+c)r/2=ab/2

 すなわち、  (a+b+c)r=ab

  さらに、 接線の長さは等しいので、

      c=(a−r)+(b−r)=a+b−2r

 よって、 r=(a+b−c)/2 を上式に代入して、

   (a+b+c)(a+b−c)=2ab
   
                        したがって、    が成り立つ。

証明4   合同な図形を巧妙に利用する証明。
      (この証明方法は、レオナルド・ダ・ビンチによるものと言われている。)

  左図において、四角形EFCA、FDBC、
 ABPS、PQRSの面積は全て等しい。

  このことから、五角形FDBAEと凹七角
 形ACBPQRSの面積は等しい。

  ここで、△EFDと△QCRの面積は等し
 いことに注意。

  よって、正方形DBAEの面積は、
 2つの正方形 BPQC と ACRS の
 面積の和に等しい。

証明5   台形の面積を利用する証明。
      (この証明方法は、ガルフィールド(米第20代大統領)によるものと言われている。)

       左図において、台形ACDEの面積は、

    (a+b)2/2  で、また、

     台形ACDE=2△ABC+△ABE 

    なので、

     (a+b)2/2=ab+c2/2

    よって、  が成り立つ。 

証明6   図形の組み替えによる証明。
      (この証明方法は、バスカラ(インド)によるものと言われている。)



  左図のように、頂点C、Eより、直交
 する2つの線分を引き、辺との交点を
 D、Fとする。

  このとき、 CD=EF=c であり、
 CF=B である。

 切り分けられた図形をそれぞれ組み
 替えると、斜辺の長さを一辺とする正
 方形が埋め尽くされる。



 この図形の切り分けによる証明は、
他にもたくさん知られている。

 平成17年7月23日(土)、特番
「世界一受けたい授業」(日本テレビ系)
での秋山 仁 先生による「ピタゴラスの
定理」の証明もその一つだ。




 秋山先生は、何とわずか 7 秒で、数式を使わずに、ピタゴラスの定理を証明された。

  

 左の図形を回転させていくと、色分けされた図形が「ストン、ストン、・・・」と右図のように
入っていく様になっていた。

 上図では、いろいろな図形が絡んでいて分かりにくい印象があるが、最近、秋山 仁先生
がNHK高校講座「数学基礎」で非常に分かりやすく説明されていた。

 次の図が基本になるのだという。

          

 上図の図形に対して、下図のように正方形の頂点を結んで新しい正方形を作図すると、
証明6の本質が見えてくる。(秋山先生に、謝謝!)

          

証明7   相似比の利用による証明。
      (この証明方法は、アインシュタインによるものと言われている。)

   左図において、 a : c = c : x
              a : b = b : y
  また、
          x+y=a

  なので、 c2/a + b2/a = a

  より、 a2=b2+c2 が成り立つ。


(コメント) 非常にシンプルな証明ですね!

 上記の証明で、比例式から、

   b2=ay 、 c2=ax なので、 b2+c2=a(x+y)=a2

とした方がよりシンプルかもしれない。

証明8   正方形の分割による証明。(→ 参考:「正方形を作る(7)」)

 参考では、格子線に沿った分割であるが、次のような分割を考えてもよい。じっと睨めっこ
すると、32+42=52 が成り立つことが了解されるだろう。このことを一般化した証明が考え
られる。
          

(コメント) これは、証明6を簡略化したものでもある。