ピタゴラス数のある性質                 戻る

 自然数 a、b、c が、a2+b2=c2 を満たすとき、ピタゴラス数といわれる。
このような a、b、c は、

      a=m2−n2 、 b=2mn 、 c=m2+n2

と書かれる。
 ただし、m、n は、互いに素な自然数で、どちらかは偶数、かつ、m>n とする。
(詳しくは、こちらを参照)

 次の表は、ピタゴラス数をいくつかまとめたものである。

15 21 35 11 45 33 13
12 24 20 40 12 60 28 56 84
13 17 25 29 41 37 61 53 65 85
abc 60 780 2040 4200 12180 14760 15540 40260 66780 120120 92820

 この表を見ていると、3つの自然数 a、b、c の積 abc は、すべて60の倍数になっている
ことに気がつく。

 実は、このことは一般的に成立する事実である。すなわち、

 自然数 a、b、c が、a2+b2=c2 を満たすとき、 abc ≡ 0 (mod 60)

が成り立つ。(合同の記号(≡)については、こちらを参照)

(証明) a=m2−n2、b=2mn、c=m2+n2 より、abc=2mn(m4−n4
    abc が60の倍数であることを示すには、mn(m4−n4)が30の倍数であることを示
    せばよい。30=2×3×5 なので、2の倍数かつ3の倍数かつ5の倍数であることを
    示せばよい。
     (参考: A≡B (mod m)、A≡B (mod n)、(m,n)=1 ⇔ A≡B (mod mn) )

 mod 2 において、  mod 5 において、
4−n4 mn(m4−n4
4−n4 mn(m4−n4
 mod 3 において、
4−n4 mn(m4−n4

 上記の表から、mn(m4−n4)は30の倍数、すなわち、abc は、60の倍数であることが
分かる。

(参考文献:小野寛晰 著 情報代数(共立出版))

(追記) 広島工業大学の大川研究室より、上記の証明に関して、コメントをいただいた。

  自然数 a、b、c が、a2+b2=c2 を満たすとき、

 (1) a、b のうち少なくとも一方は 3 の倍数

 (2) a、b のうち少なくとも一方は 4 の倍数

 (3) a、b、c のうち少なくとも一つは 5 の倍数


という性質を持つことは、よく知られた事実とのことである。

実際に、

(1)の証明: 
   a、b のどれも 3 の倍数でないとすると、a2、b2 を 3 で割った余りは、必ず 1 となる。
  したがって、a2+b2 を 3 で割った余りは、2 となるが、a2+b2=c2 を 3 で割った余り
  は、0 または 1 なので、これは矛盾である。
   したがって、a、b のうち少なくとも一方は 3 の倍数である。

(2)の証明:
   a、b のどれも 4 の倍数でないとすると、a2、b2 を 4 で割った余りは、0 または 1 と

   なる。したがって、a2+b2 を 4 で割った余りは、0 または 1 または 2 となる。

   (イ) a2+b2 を 4 で割った余りが、0 のとき、

      a=4m+2、b=4n+2 とおける。このとき、
      c2=a2+b2=16(m2+n2+m+n)+8
      c2 は偶数なので、c は偶数。よって、c=2k とおける。
      上式に代入して整理すると、 k2=4(m2+n2+m+n)+2
      よって、k2 が偶数なので、k は偶数。
      このとき、左辺は4の倍数になるが、右辺は4で割って2余る数である。
      これは、矛盾である。

   (ロ) a2+b2 を 4 で割った余りが、1 のとき、

      一般性を失うことなく、a=4m±1、b=4n+2 とおいてよい。このとき、
      c2=a2+b2=8(2m2+2n2±m+2n)+5
      c2 は奇数なので、c は奇数。よって、c=2k+1 とおける。
      上式に代入して整理すると、 k2+k=2(2m2+2n2±m+2n)+1
      左辺=k2+k=k(k+1) は連続する2整数の積なので偶数、しかるに、右辺は
      奇数で、これは矛盾である。

   (ハ) a2+b2 を 4 で割った余りが、2 のとき、

      a=4m±1、b=4n±1 とおける。このとき、
      c2=a2+b2=8(2m2+2n2±m±n)+2
      c2 は偶数なので、c は偶数。よって、c=2k とおける。
      上式に代入して整理すると、 2k2=4(2m2+2n2±m±n)+1
      このとき、左辺は偶数であるが、右辺は奇数である。
      これは、矛盾である。

   以上から、a、b の少なくとも一方は 4 の倍数である。

(3)の証明:
   a、b、c のどれも 5 の倍数でないとすると、a2、b2、c2 を 5 で割った余りは、1 また
  は 4 となる。したがって、a2+b2 を 5 で割った余りは、0 または 2 または 3となるが、
  これは、a2+b2=c2 であることに矛盾である。
   したがって、a、b、c のうち少なくとも一つは 5 の倍数である。

 従って、上記の性質を知っていれば、3 と 4 と 5 は互いに素であることから、
abc が3・4・5=60 の倍数になることは自明である。

(注)整数論の知識を用いれば、このような解もあり得るが、私的には、冒頭のような表形式
  で示す方法の方が、簡明で手っ取り早く好きである。(大川さん、ゴメンナサイ!)

(追記) 平成22年5月12日付け

 上記で示された次の性質:

  自然数 a、b、c が、a2+b2=c2 を満たすとき、

 (1) a、b のうち少なくとも一方は 3 の倍数

 (2) a、b のうち少なくとも一方は 4 の倍数


を用いると、「abは12の倍数である」ことが直ちに分かる。このことを問う問題が

 平成22年度 首都大学東京 歳教養学部(理工学系−数理科学コース) 前期

で出題された。

 整数 a、b、c が、a2+b2=c2 を満たしているとすると、積 ab は、12で割り切れ
ることを示しなさい。


(解) まず、ab が 3の倍数であることを示す。

   a、b がともに3の倍数でないと、a2、b2 を 3 で割った余りは、必ず 1 となる。

  よって、c2=a2+b2 を3 で割った余りは、2となり矛盾である。

  したがって、 a、b のうち少なくとも1つは3の倍数となり、ab は 3の倍数となる。

 次に、ab が 4の倍数であることを示す。

 奇数の平方を8で割った余りは、必ず 1 となる。

 また、偶数 m に対して、整数 k を用いて、

 m=2(2k) のとき、 m2 を8で割った余りは、必ず 0 となる。

 m=2(2k+1) のとき、 m2 を8で割った余りは、必ず 4 となる。

 よって、a、b がともに奇数とすると、c2=a2+b2 を8 で割った余りは2となり矛盾である。

 したがって、 a、b のうち少なくとも1つは偶数となる。

 a、b がともに偶数ならば、明らかに、ab は 4の倍数である。

 また、どちらかが偶数で、どちらかが奇数のとき、例えば、a が偶数、b が奇数のとき、

 c2=a2+b2 から c も奇数で、 a2=c2−b2 は8で割り切れる。

 このとき、a=2(2k) の場合のみなので、a は4の倍数、即ち、ab は 4の倍数である。

 以上から、ab は 3の倍数 かつ  4の倍数であるので、12の倍数となる。 (終)