第3章 2項分布と正規分布                   目次に戻る

1.2項分布

 確率変数Xの確率分布が2項分布であるとは、Xが次のような分布に従うときを言う。

 Xの取り得る値 0、1、2、・・・、n に対して、X=k に対する確率が

  P(X=k)=(1−p)n-k  (0<p<1)

 このとき、Xは2項分布B(n,p)に従うと言う。

(注意) 定義から分かるように、反復試行の確率分布は、2項分布である。

    また、 Σk=0〜n (1−p)n-k=(p+1−p)=1 である。

(問) 1枚の硬貨を3回続けて投げるとき、表の出る回数をXとする。Xの確率分布を求め、
   E(X)、V(X)、σ(X)を求めよ。

 2項分布B(n,p)の期待値、分散については、次の公式が重要である。

   E(X)=np 、V(X)=npq  (ただし、q=1−p)

(問) 上の公式の証明を与えよ。

  (Hint) (px+q)=Σk=0〜n n-k・x の両辺をxについて微分せよ。

(問) 1個のさいころを720回振るとき、1の目の出る回数をXとする。Xの期待値、分散、
   標準偏差を求めよ。

2.正規分布

 2項分布のように、確率変数Xの値が飛び飛びの値をとり、それらに対応する確率の値が
階段関数になるとき、Xを離散的な確率変数という。これに対して、確率変数Xの値が連続
的な値をとる場合がある。

 確率変数Xの取り得る値が区間[α,β]で、確率P(a≦X≦b)が、

     P(a≦X≦b)=∫F(x)dx  ただし、F(x)≧0 で、∫αβF(x)dx=1

で与えられるとき、Xのことを連続的な確率変数といい、F(x)のことを確率密度関数という。

(問) Xが連続的な確率変数で、その確率密度関数F(x)が、F(x)=kx (0≦x≦2) と与
   えられているとき、次の問いに答えよ。

  (1) kの値を求めよ。   (2) P(1≦X≦3/2)を求めよ。

 連続的な確率変数Xが正規分布とは、確率密度関数F(x)が、

      

で与えられるときをいう。このとき、Xは正規分布N(m,σ2)に従うという。

 連続的な確率変数Xに対して、

  m=E(X)=∫αβx・F(x)dx  、 V(X)=∫αβ(x−m)2・F(x)dx

と定義する。

(問) [0,6]で定義された連続的な確率変数Xがある。Xの確率密度関数を、F(x)=ax
   とするとき、平均、分散、標準偏差を求めよ。

3,標準正規分布とその応用

 正規分布の確率密度関数F(x)について、次の事柄が成り立つ。

(1) y=F(x)のグラフ(正規分布曲線) ・・・ x=mに関して線対称

   

(2) ∫-∞F(x)dx=1 (面積が1)  (→ 参考:「無限の拡がりを持つ面積1の図形」)

(3) E(X)=m 、 V(X)=σ2 、σ(X)=σ

(4) P(m−σ≦X≦m+σ)=0.683 、P(m−2σ≦X≦m+2σ)=0.954

   P(m−3σ≦X≦m+3σ)=0.997

 平均が0、分散が1の正規分布を標準正規分布N(0,1)という。

 通常、P(u)=P(0≦X≦u) と表す。

(問) 正規分布表を用いて、P(1.2)、P(2.3)の値を求めよ。

(問) 次の確率を求めよ。

  (1) P(1≦X≦2.5)  (1) P(−1≦X≦2)  (1) P(X≧1)

 正規分布N(m,σ2)は、標準化 (X−m)/σ=Z を施せば、標準正規分布N(0,1)に
なる。

(問) XがN(2,25)に従うとき、P(2≦X≦4)を求めよ。

(問) XがN(4,9)に従うとき、P(7≦X≦10)を求めよ。

 正規分布の応用を考えてみよう。

(問) ある高校の3年生300人について、200点満点の実力テストを行った結果、平均点
   は、169.4点、標準偏差5点の正規分布にだいたい従う分布が得られた。このとき、
   次の問いに答えよ。

 (1) 170点〜180点の生徒は何人いるか。
 (2) 160点とった生徒は、何番位か。
 (3) 上位50名の中に入るには、何点以上あればよいか。

(問) センター試験地理の受験者は10万人で、平均点が48点、標準偏差が14点の正規
   分布になるという大学入試センターの発表があった。次のものを求めよ。

 (1) 90点とった人は、何番位か。
 (2) 上位1万名中に入るためには、何点以上あればよいか。

4.ラプラスの中心極限定理

 確率変数Xが2項分布B(n,p)に従うとする。n が十分大きいとき、Xは正規分布
N(np,npq)に従うものと見なせる。(中心極限定理・・・2項分布の正規近似)

(注意) 経験によれば、
      p≦1/2 のとき、 n>5/p   p≧1/2 のとき、 n>5/(1−p)
    であるような n であれば、正規近似は実用上十分であることが分かっている。

 Xは離散的な変数だから、Xは飛び飛びの値しかとらない。ところで、2項分布を正規分布
と見なすということは、Xを連続的な変数と見なすことである。

 よって、P(a≦X≦b)を計算するとき、四捨五入して「a≦X≦b」となると考えて(←大切)、
a−0.5≦X<b+0.5 の確率を計算しなければならない。このような計算を半整数補正
という。

(問) さいころを720回投げて、1の目が出る回数をXとする。Xが100以下の値をとる確
   率を求めよ。

(問) さいころを720回投げたとき、1の目が120回以上または80回以下出る確率を求
   めよ。

(問) 数学の問題を5題中4題は解けると言われているS君が100題の問題を解くことに
   なった。次の問いに答えよ。

 (1) 90題以上を解くことができる確率を求めよ。
 (2) 80%以上の確率で解くことが出来る問題数の最大値を求めよ。