射影幾何について                             戻る

 当HPの読者のK.S.さんより、平成23年11月4日付けで標記話題をメールで頂いた。

 射影幾何においては、二次曲線である楕円、放物線、双曲線が同一視される、ことが知ら
れています。具体的に、それらを計算してみました。

 先ず、二次曲線において、特異点を持たない曲線は、楕円、放物線、双曲線の何れかに
なるわけですが、平行移動、相似変換により、一般の曲線は、次の3つに集約される。

 x2+y2=1 ・・・ (イ)  y=x2 ・・・ (ロ)  x2−y2=1 ・・・ (ハ)

これらは、アフィン平面上では違った形にみえ、同一視できないが、無限遠直線を添加した
実射影平面においては、無限遠直線との交点について、(イ)は、交点を持たない。(ロ)は、
交点を一つ持つ。(ハ)は、二つの異なる交点を持つ。

 図で示すと
   

 (イ)(ロ)(ハ)を実射影平面で表示し、無限遠直線(z=0)との交点を考えると、

 x2+y2=z2 ・・・ (イ)’  zy=x2 ・・・ (ロ)’  x2−y2=z2 ・・・ (ハ)’

 無限遠直線 z=0

 (イ)’は実数では、交点を持たない。

 (ロ)’は無限遠直線上の交点(0,0,1)を持つ。

 (ハ)’は無限遠直線上の交点(0,1,1)と(0,1,−1)を持つ。

 次に、これらを同一視する射影変換を考える。射影変換は、アフィン平面上で一般に

   

で表され、(イ)から(ロ)への変換は、

 x’=−x/(y−1)、y’=(−y−1)/(y−1)

実際に、 x’2=x2/(y−1)2=(1−y2)/(y−1)2=(−y−1)/(y−1)=y’

(ロ)から(ハ)への変換は、

 x’=(y+1)/(2x)、y’=(y−1)/(2x)

実際に、 x’2−y’2=(y+1)2/(2x)2−(y−1)2/(2x)2=4y/4x2=1

(ハ)から(イ)への変換は、

 x’=1/x、y’=y/x

実際に、 x’2+y’2=1/x2+y2/x2=(1+y2)/x2=x2/x2=1

以上により、(イ)(ロ)(ハ)は射影変換により、移りあうので、同一視できる。

 更に、上の二次曲線は、代数幾何においては、種数 g=0 で、双有理変換によって、直
線と同一視されることが知られている。