２次方程式の理論で、「解の分離」という問題がある。「２つの解がともに正」とか「２つの
解がともに負」、「２つの解は異符号」、「２つの解はともに３より大きい」「１つの解は２より
大きく、残りの解は−１より小さい」 ・・・ など、いろいろとバリエーションが考えられる。
これまで、「解の分離」問題は解の存在範囲を確定するための問題という意識しかなく、
そのさらなる応用には、あまり関心を払わずにいた。この「解の分離」問題のうち、「解（ま
たは解の実数部）がともに負」という場合が力学系、制御系の安定性の判別に利用される
ことを最近知り、とても興味を持った。
このページでは、「解の分離」問題とその応用についてまとめようと思う。
例１ １次方程式 ｘ＋ａ＝０ の解が負であるための必要十分条件は、 ａ＞０ である。
例２ ２次方程式 ｘ2＋ａｘ＋ｂ＝０ の解（または解の実数部）がともに負であるための必
要十分条件は、
ａ＞０ かつ ｂ＞０
である。
実際に、判別式 Ｄ＝ａ2−４ｂ≧０ のときは、−ａ/２＜０ 、ｂ＞０ より、ａ＞０、ｂ＞０
Ｄ＝ａ2−４ｂ＜０ のときは、解の実数部＝−ａ/２＜０ より、ａ＞０ で、また、
４ｂ＞ａ2＞０ より、ｂ＞０
逆に、 ａ＞０ かつ ｂ＞０ のとき、解（または解の実数部）はともに負になる。
例３ ３次方程式の解がともに負の場合を考える。例えば、「−１、−２、−３」を解に持つ
３次方程式は、
（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＝０ より、 ｘ3＋６ｘ2＋１１ｘ＋６＝０
となる。
例１、例２を踏まえて、例３の具体的な場合から、
３次方程式 ｘ3＋ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ の解（または解の実数部）がともに負であるため
の必要十分条件は、
ａ＞０ かつ ｂ＞０ かつ ｃ＞０
であることが予想される。
しかしながら、この予想は正しくない。
実際に、例えば、３次方程式 ｘ3＋ｘ2＋ｘ＋１＝０ の解は、−１、±ｉ で、解（または解の
実数部）がともに負になることはない。
しかしながら、上記の条件は解（または解の実数部）がともに負であるための必要条件
となり得る。すなわち、係数に負のものがあれば、その３次方程式は、解（または解の実
数部）がともに負であるとは言えない。
必要条件であることは、次のフルヴィッツの定理（Ｈｕｒｗｉｔｚ’ｓＴｈｅｏｒｅｍ）から分
かる。
フルヴィッツの定理（Ｈｕｒｗｉｔｚ’ｓＴｈｅｏｒｅｍ）
ｎ次方程式 ｘｎ＋ａ1ｘｎ-1＋ａ2ｘｎ-2＋・・・＋ａｎ-2ｘ2＋ａｎ-1ｘ＋ａｎ＝０ の解（または
解の実数部）がともに負であるための必要十分条件は、 Ｄｋ＞０ （ｋ＝１、２、・・・、ｎ）
である。
ここで、Ｄｋ は、ｎ次方程式の係数から作られる次の行列
の左上隅からｋ行ｋ列までをとって作った小行列式である。
（ただし、上記の行列において、 ａｍ＝０ （ｍ＞ｎ） とするものとする。）
この定理によれば、
３次方程式 ｘ3＋ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ の解（または解の実数部）がともに負であるた
めの必要十分条件は、
Ｄ1＝ａ＞０ 、 Ｄ2＝ａｂ−ｃ＞０ 、 Ｄ3＝ａｂｃ−ｃ2＞０
となる。
このとき、「ａ＞０ かつ ｂ＞０ かつ ｃ＞０」が、必要条件であることは次のように示され
る。
Ｄ3＝ａｂｃ−ｃ2＝（ａｂ−ｃ）ｃ＞０ で、Ｄ2＝ａｂ−ｃ＞０ より、 ｃ＞０
このとき、 Ｄ2＝ａｂ−ｃ＞０ より ａｂ＞ｃ＞０ で、Ｄ1＝ａ＞０ なので、ｂ＞０
よって、 ａ＞０ かつ ｂ＞０ かつ ｃ＞０ が成り立つ。
ところで、冒頭で述べた「制御系の安定性の判別に利用される」ことについて少し概観し
てみよう。私自身、制御系のことを専門的に学んだことがないので、もしかしたら舌足らず
の説明にしかならないかもしれない。そこはご容赦願いたい。
制御系の理論は、工学部の電気工学科や機械工学科の２年次位で学ぶようだ。ラプラ
ス変換や逆ラプラス変換の応用にもなっていると思う。
入力から出力に至る制御系において、瞬時的な外乱を与えて時間の経過とともに制御
系が再び平衡状態に落ち着くとき、その制御系は安定であるという。
ここで、入力と出力のラプラス変換（初期値は０）の比として、伝達関数が定義され、その
特性方程式の解を、ｓ1、ｓ2、・・・、ｓｎ とすると、伝達関数のインパルス応答は、ｅｓkｔ の
線形結合で表される。
したがって、解 ｓ1、ｓ2、・・・、ｓｎ の中に一つでも正のものがあると、時間 ｔ → ∞ に対
して、その項は無限大に発散し、インパルス応答は、０ にならない。
よって、制御系が安定であるためには、特性方程式の解は全て負でなければならない。
（コメント） 理論の詳細は浅学の身で不確かであるが、フルヴィッツの定理がどのような
意味を持っているのか、分かったような気分にさせてくれた。
制御系の理論を学んだ方で高校生でも分かるように説明していただける方は
いらっしゃらないだろうか？是非メールをお願いします。
以下、工事中