正多面体が５種類しかない理由　　　　　　　　　　　　

　紀元前３、４世紀頃のギリシア数学においては、調和と均斉が重要なテーマであった。平
面図形では、円や正多角形、空間図形では、球や正多面体が興味を引く対象物であった。

　正多面体とは、全ての面が合同な正多角形からなり、各頂点に集まる辺の数が全て等し
い多面体のことをいう。

　例えば、正４面体は立派な正多面体であるが、正４面体２つを重ねてできる６面体は正多
面体とはみなされない。

　ユークリッドの時代（紀元前３世紀）には、既に５種類の正多面体が知られていたという。

　　　　正４面体　　　　　　　　　　正６面体　　　　　　　　　　　　正８面体
　　　　
　　　　　　　　　　　　正１２面体　　　　　　　　　　　　　　正２０面体

　　　　（正多面体を構成する面の特徴から、辺の長さが同じ場合は、正１２面体が最も大きいことが分かる。
　　　　　　　　―参考文献―　根上生也、中本敦浩　著　基礎数学力トレーニング　（日本評論社）　）

　プラトンは、その著書「ティマイオス」の中で、これらを自然界の４元素（土・水・火・空気）
に関連づけて論じている。

　正６面体　・・・・・土　　（最も安定性が強いので）
　正２０面体・・・・・水
　正４面体　・・・・・火　　（最も安定性が弱いので）
　正８面体　・・・・・空気

　正１２面体に対応するものがないので、プラトンもその処理に困ったらしく、宇宙を象徴す
るものという、分かったような分からないような表現でごまかしている。

　以上のことから、正多面体のことを、プラトン図形またはプラトンの立体と呼ぶことがある。

　正多面体が５種類しかないことは、プラトンの友人の数学者テアイテトスやピタゴラスによ
り証明されていたらしい。

　　　　（追記）　ピタゴラス教団は事実上の宗教団体で、数学上の発見を決して外部に漏
　　　　　　　　らさないという誓いをたてされていた。新しい正多面体（正１２面体）の発見を
　　　　　　　　公表してしまった男の人は、誓いを破ったということで、溺死させられたという。
　　　　　　（参考文献：サイモン・シン著　青木　薫訳　「フェルマーの最終定理」　（新潮社））

　その証明はいろいろ知られているが、次のオイラーの多面体定理を利用するものが一番
わかりやすい。

　オイラーの多面体定理

　　　１つの多面体の頂点の個数を　Ｖ、辺（稜または線）の個数を　Ｅ、面の個数を　Ｆ とす
　　ると、
　　　　　　　　　Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２

　　が成り立つ。（覚えるときは、Ｅ＝Ｖ＋Ｆ−２　と変形したほうがよい。）

　（正多面体に限らず、多面体の頂点と辺と面の個数の間には、ある定まった関係がある。
　　この関係は、１８世紀を代表する数学者レオンハルト・オイラーによって発見された。　）

　各正多面体の頂点・辺・面の個数を書き上げてみると、次の表のようになる。

　このオイラーの定理の覚え方として、杉浦光夫さんが講義中ボソッと「この公式は、

　　　　　　　　『　線　は　帳　 　面　に引け　』
　　　　　　　　　（辺） ＝ (頂）＋（面）−２　
と覚えるといいですよ！」と仰ったのが、今でも耳に残っている。

(注）帳面というのは、もう死語かもしれない。今風に言えば、ノートのこと。でも、ノートでは
　　上手い語呂合わせを作るのは難しい。我々は、日本語に感謝しなければいけない。

　　　（補足）　平成１９年８月２０日付け

　　　　　オイラーの多面体定理の応用例を一つあげておこう。

　　　　　サッカーボールは、正５角形と正６角形をそれぞれ何枚かずつ貼り合わせ
　　　　て作られている。正５角形と正６角形の枚数は、それぞれ何枚だろうか？

　　　　　　正５角形、正６角形の枚数をそれぞれ、ａ 枚、ｂ 枚とする。

　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　上図はサッカーボールの一部分を展開したものであるが、どの頂点でも正５角
　　　　　形１枚と正６角形２枚が集まっていることが分かる。

　　　　　　よって、　頂点の個数に注目して　５×ａ＝（６×ｂ）/２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（正６角形の２つの頂点が重なって１つの正５角形の頂点を表す）

　　　　　すなわち、　５ａ＝３ｂ　が成り立つ。

　　　　　　サッカーボールを多面体と考え、頂点の個数を　Ｖ、辺の個数を　Ｅ、面の個数
　　　　　を　Ｆ とすると、

　　　　　　　　　　Ｖ＝（５ａ＋６ｂ）/３　・・・　１個の頂点が３回重複して数えられている

　　　　　　　　　　Ｅ＝（５ａ＋６ｂ）/２　・・・　１個の辺が２回重複して数えられている

　　　　　　　　　　Ｆ＝ａ＋ｂ　・・・・・・・・・・　正５角形、正６角形の総数が面の個数になる

　　　　　である。

　　　　　オイラーの多面体定理より、　　Ｅ＝Ｖ＋Ｆ−２　なので、

　　　　　　　　　　　　　　（５ａ＋６ｂ）/２＝（５ａ＋６ｂ）/３＋（ａ＋ｂ）−２

　　　　　よって、　１５ａ＋１８ｂ＝１０ａ＋１２ｂ＋６ａ＋６ｂ−１２　より、　ａ＝１２

　　　　　　　　　　　　５ａ＝３ｂ　より、　ｂ＝２０

　　　　　したがって、サッカーボールにおいて、

　　　　　　　正５角形の枚数は、　１２枚 、 正６角形の枚数は、　２０枚

　　　　　となる。（→　今度、数えてみようっと．．．！）

　　　（補足）　平成１９年８月２２日付け

　　　　　２０日付けで上記をアップしたところ、２１日付けで、北海道の「ｍａ-．」さんからメ
　　　　ールを頂いた。（一部表現を修正させていただきました！）

　　　　　２０日付けで更新のサッカーボールの話題に関するメールです。

　　　　サッカーボールは、正２０面体のすべての頂点を切り取ることによって作ることがで
　　　きる。

　　　　実際に、正２０面体は、１つの頂点に５つの正三角形が集まり、１つの頂点を切り取
　　　ることにより１つの正五角形が出来る。正２０面体は１２個の頂点を持っているので、
　　　正五角形は合計で１２個出来ることになる。元の正三角形は、すべての頂点が切り取
　　　られ正六角形が出来ることになる。

　　　　以上から、サッカーボールは

　　　　　・正２０面体の１２個の頂点から生まれた、１２個の正五角形
　　　　　・正２０面体の２０個の面（正三角形）から生まれた、２０個の正六角形

　　　からなる３２面体と言える。

　　　　ところで、辺の本数は、 新たに生まれた１２個の正五角形の分だけ増えるので、

　　　　　　　　　　３０＋１２×５＝９０（本）
　　　となる。

　　　　頂点の個数は、元の１２個の頂点がなくなり、その代わりに新たに生まれた１２個の
　　　正五角形の分だけ増えるので、

　　　　　　　　　　１２−１２＋１２×５＝６０（個）

　　　となる。これらの関係は、

　　　　　　　　　　９０＝６０＋３２−２　（　（辺） ＝ (頂）＋（面）−２　）

　　　という等式を満たし、サッカーボールにおいても、オイラーの多面体定理が成り立つ。

（コメント）　私自身、この話題を授業で扱ったことはないが、「ｍａ-．」さんにとっては結構
　　　　　　好きな内容とのことで、授業でも時折話されているそうである。この問題を文章
　　　　　　表現のみで球の中のサッカーボールを想像してみれば、かなり空間把握の訓
　　　　　　練になるのではないかとのこと。更に、空間把握が得意な生徒には正２０面体
　　　　　　から始めてサッカーボールを図に描かせてみると意外と自分なりの法則を見つ
　　　　　　けて描けるようになるのではないかとのこと。「ｍａ-．」さんの貴重なご提案に感
　　　　　　謝いたします。

　　　　　　　「ｍａ-．」さんの行った方法

　　　　　　　　　多面体の角を切り落として新しい多面体を作る

　　　　　　は、かなり有名で、線形凸不等式における重要な手法となっている。

　　　　　　　この話題については、ページを改めて起こしたいと考えている。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（→参考：凸図形の理論と応用）


　オイラーの定理の証明は数学の専門書に委ね、我々は先を急ごう。

　プラトンの多面体定理

　　　正多面体は、

　　　　　正４面体、正６面体、正８面体、正１２面体、正２０面体

　　の５種類しかない。

　正多面体が存在するためには、

　　　　　　「１つの頂点に集まる面の個数は３以上」
　　　　かつ、
　　　　　　「頂点のまわりの頂角の合計は３６０°より小」

であることが必要である。このことから、面となる正多角形が限られてくる。

　正ｎ角形（ｎは３以上）の頂角の大きさは、（ｎ−２）×１８０°÷ｎ　なので、

　　　　　３×（（ｎ−２）×１８０°÷ｎ）＜３６０°　が成り立つ。

これより、ｎ＜６　となり、ｎ の値は、３、４、５　となる。

　従って、面となる正多角形が正３角形、正４角形、正５角形の場合のみを考えればよい。

ここで、正Ｆ面体の１つの面である正ｎ角形の１つの頂点に集まる辺の個数を ｋ とすると、

k 回の重複を考慮して、Ｖ＝ｎ×Ｆ÷ｋ、　２回の重複を考慮して、Ｅ＝ｎ×Ｆ÷２　が成り立
つことに注意する。

（イ）　面が正５角形のとき

　　　正５角形の頂角は、１０８°だから、１つの頂点に集まる面の個数は３で、ｋ＝３ 。
　　よって、Ｖ＝５Ｆ÷３、Ｅ＝５Ｆ÷２　だから、Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２　に代入して、Ｆ＝１２ 。

（ロ）　面が正４角形のとき

　　　１つの頂点に集まる面の個数は３で、ｋ＝３ 。
　　よって、Ｖ＝４Ｆ÷３、Ｅ＝４Ｆ÷２　だから、Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２　に代入して、Ｆ＝６ 。

（ハ）　面が正３角形のとき

　　　１つの頂点に集まる面の個数は３、４、５で、ｋ＝３、４、５ 。

　　（�@）　ｋ＝３　のとき
　　　　Ｖ＝３Ｆ÷３、Ｅ＝３Ｆ÷２　だから、Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２　に代入して、Ｆ＝４ 。
　　（�A）　ｋ＝４　のとき
　　　　Ｖ＝３Ｆ÷４、Ｅ＝３Ｆ÷２　だから、Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２　に代入して、Ｆ＝８ 。
　　（�B）　ｋ＝５　のとき
　　　　Ｖ＝３Ｆ÷５、Ｅ＝３Ｆ÷２　だから、Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２　に代入して、Ｆ＝２０ 。

以上で、プラトンの多面体定理は証明された。

　ところで、正多面体には、正多面体が正多面体を生み出すという、面白い性質がある。

　　　　正６面体→正４面体→正８面体
　　　　　↑　　　　　　　　　　　↓
　　　　　　正１２面体　←　正２０面体

　正６面体ＡＢＣＤ−ＥＦＧＨにおいて、Ａ−ＣＦＨは正４面体になる。正４面体の各辺の中
点を結んでできる多面体は正８面体となる。

　同様に、適切に頂点を選ぶことにより、正１２面体から正６面体が作られる。
正８面体からは、黄金比などを活用して、正１２面体が作られる。正２０面体の各面の中
心を結んでいくと、正１２面体になる。

（参考文献：山下純一　著　数学史物語（東京図書）
　　　　　　　小林隆章　著　正多面体の不思議（数学探求講座）
　　　　　　　横田一郎　著　やさしい位相幾何学の話（現代数学社））

（追記）　平成１８年１２月１９日付け

　　上記で、

　　　　（正多面体を構成する面の特徴から、辺の長さが同じ場合は、正１２面体が最も大きいことが分かる。
　　　　　　　　―参考文献―　根上生也、中本敦浩　著　基礎数学力トレーニング　（日本評論社）　）

ということを述べた。同様の話題が、朝日新聞夕刊の特集「ニッポン人脈記」の「数学する
ヒトビト」（１２月１８日付け）でも取り上げられている。

　　　正１２面体と正２０面体の体積は、どちらがより球の体積に近いか？

　　　　　
　　　　　　　　　　正１２面体　　　　　　　　　　　　　　正２０面体

　正１２面体の頂点の個数は２０個で、正２０面体の頂点の個数は１２個である。頂点の個
数が多い方がより球に近い図形ということで、正１２面体の方が、より球の体積に近いこと
になる。字面からだと正２０面体の方と答えがちだが、図形の形を知っている人は、多分間
違えることはないだろう。

（追記）　平成１９年３月１７日付け

　　上記で、正多面体の体積を話題にしたが、他の正多面体についても、その図形固有の
量を一覧にしておこう。

	正４面体	正６面体	正８面体	正１２面体	正２０面体
頂点の数	４	８	６	２０	１２
辺の数	６	１２	１２	３０	３０
面の数	４	６	８	１２	２０
面の形状	正三角形	正方形	正三角形	正五角形	正三角形
表面積
体積

　　ただし、正多面体の１辺の長さを、ａ とする。

　この表では、１辺の長さを与えているが、ａ＝１ としてもよい。後は相似比の性質を用いて
上記の公式は容易に作ることが出来る。（　→　参考 ： 相似比の真実）