循環節の性質                              戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんが、循環節のある性質について考察さ
れた。(平成25年2月12日付け)

 10を原始根に持っている法pで、1〜100までの素数を調べると、

   p=7、17、19、23、29、47、59、61、97

の9個がある。これらに共通に言える性質として、

 1/p を小数にしたとき、循環節の長さが p-1 (偶数)で、その循環節の

  前半部分の数+後半部分の数=999…9 (9が (p-1)/2 個並ぶ)


となる。

例1 1/7=0.142857142857… から、循環節の前半=142、循環節の後半=857 より、

   循環節の前半+循環節の後半=999

例2 1/17=0.05882352941176470588… から、

   循環節の前半=05882352 、循環節の後半=94117647 より、

   循環節の前半+循環節の後半=99999999

例3  1/97=0.01030927835051546391752577319587628865979381443298969
                 0721649484536082474226804123711340206185567010309…

   循環節の前半=010309278350515463917525773195876288659793814432
   循環節の後半=989690721649484536082474226804123711340206185567

   循環節の前半+循環節の後半
  =999999999999999999999999999999999999999999999999

 これはこれで計算機等で確認できるんですが、これを、1〜1000 までの素数に広げると以


   p=7、17、19、23、29、47、59、61、97、・・・、223、229、233、257、…、983

と素数7からカウントすると、52個存在していた。これらの素数に対しても同様な現象が起こ
るとは思われるが確認していくには切りがない。何方かこれを証明して頂けませんか?

 上の性質は10を原始根とするときの現象であるなら、他の数の原始根である場合はどん
なことに繋がるのか?この辺りの知識に詳しい方は情報を下さい。


 空舟さんからのコメントです。(平成25年2月12日付け)

 111111は、7で割り切れます。(← 1が並ぶ数字の中では最小)

 111111/111=1001は、7で割り切れます。(上記の仮定より、111は7と素だから)

 よって、 1/7 + 1000/7 = 1001/7 は整数です。ここで、1000/7は、1/7の小数点を3つずら
したものです...と言う考察で理解することができます。

 飯高先生の研究室の卒業研究論文に似た話題が有ったと思います。(あんまり読んでな
いのでどんな話か把握していないけれど)


 当HP読者のHN「ILM」さんから、上記話題に関連してメールを頂いた。
                                      (平成25年3月26日付け)

 1/p を小数にしたとき、循環節の長さが p-1 (偶数)で、その循環節の

  前半部分の数+後半部分の数=999…9 (9が (p-1)/2 個並ぶ)


について私なりの証明を思いつきました。以下書きたいと思います。

(証明) 10を原始根に持つ素数pに対して、1/pの循環節をa、長さをwとおくと、

    1/p=a/10w+a/102w+……

となり、右辺を整理して、1/p=a/(10w−1) より、 10w−1=ap

 上式の両辺を、mod p で見て、 10w−1≡0 (mod p)

さて、pの定義より、上式を満たす最小のwは、p−1 であるので、10p-1−1=ap ・・・(*)

 a=b×10(p-1)/2+c (b、c≦10(p-1)/2−1) とおくと、(*)より、

10p-1−1=(b×10(p-1)/2+c)p なので、c=(10p-1−1)/p−b×10(p-1)/2 となる。

ところで、求めるものは、b+c であるから、

 b+c=b+(10p-1−1)/p−b×10(p-1)/2=(10(p-1)/2−1)((10(p-1)/2+1)/p−b)

 ここで、 (10(p-1)/2+1)/p は整数なので(もし割り切れなかったらpの定義に反する )、

(10(p-1)/2+1)/p=d とおいて、 b+c=(10(p-1)/2−1)(d−b) ・・・(*:*)

 (10(p-1)/2+1)(10(p-1)/2−1)=(b×10(p-1)/2+c)p より、

   pd(10(p-1)/2−1)=(b×10(p-1)/2+c)p

 よって、 d(10(p-1)/2−1)=b×10(p-1)/2+c より、(d−b)10(p-1)/2=c+d ・・・(***)

(*:*)×10(p-1)/2 と(***)より、 (b+c)10(p-1)/2=(c+d)(10(p-1)/2−1)

ここで、10(p-1)/2−1 と 10(p-1)/2 は互いに素なので、10(p-1)/2−1 は、b+c を割り切る。

 b、c の定義より、 b+c≦2×(10(p-1)/2−1) であるから、

  b+c=10(p-1)/2−1、2×(10(p-1)/2−1)

であるが、b+c=2×(10(p-1)/2−1) のときは、b=c=10(p-1)/2−1 であり得ない。

 以上より、 b+c=10(p-1)/2−1 なので、9 が (p-1)/2 個並ぶ事になる。 (証終)


(♯) もしかしたら間違いがあるかもしれませんが、こんな感じになりました。加えて、もし
   p が原始根に10を持たなかったらどうなるかはまだ検討してないので、暇があったら
  やってみたいと思います。


(コメント) ILMさん、証明ありがとうございます。自然な流れに感動しました!


 ILMさんからの続報です。(平成25年3月28日付け)

 ふと思ったんですが、循環節の長さw、即ち、法p(p は素数)における10の位数が偶数
であれば同様の証明が成り立ちますね。つまり、

 10w≡1  (mod p) を満たす最小の自然数wが偶数のとき、

 1/p の循環節の前半と後半を足すと、10w/2−1 となって、9がw/2 個並ぶ事になる

ということです。あとは10の位数が奇数のときを考察すればいいわけですが、難しそうです
ね。まず分割の仕方がわからない。何か閃いたらまたメールしたいと思います。


 ILMさんからの続報です。(平成25年3月29日付け)

 循環節について、さらに別のことを思いつきました。別に10進数表示でなくてもいいですよ
ね。つまり、さらに一般化して、

 pを素数、qをpと互いに素な数として、qの位数w、即ち、qw≡1 (mod p) を満た
す最小の自然数 w が 1/p をq進数表示した時の循環節の長さとなり、さらに w が偶
数のとき、その循環節の前半と後半を足すと、qw/2−1 となって、q−1 が w/2 個並
ぶ事になる。

ということが同様に証明できますね。よく考えると、別に 1/p ではなく、r を p と互いに素な p
未満の数として r/p でもいいはずですが...。

 あとはこれを応用すると、r/p のq進数表示を求めたければ、循環節の長さを求め、前半だ
け頑張って計算し、後半は前半を見て足した時に q-1 になるように埋めていけばいいことが
わかります。

 具体的に、 1/7 の 3 進数表示を求めたければ、7 を法としたときの 3 の位数は 6 なので、
最初の三桁を頑張って求め、0.010……となったらあとはこれを見て、0.010212……と埋める、
ということです。

 しかし、これは便利なんですかね? 手計算では手間が半減のような、位数を求めるのが面
倒のような、結局あまり変わらないのでは、という感じです。私はあまりq進数表示を求めるよ
うなことをしてこなかったので、あまりありがたみがわかりませんが、どうなのでしょうか。