相異なる ｎ 個のものから重複を許して ｒ 個とる組合せの数は、
ｎＨｒ＝ｎ＋ｒ−1Ｃｒ （通り）
で与えられる。これは、順列組合せの基本公式だろう。
当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、平成２２年４月１５日付けで、ＨＮ「Ｈ．Ｉ．」さんが、「長年
の悩みに決着を」と題して次のような書き込みをされた。
組合せ数学の話ですが、詳しい方がいましたらご教授ください。高校で順列・組合せを学
んで以来、謎の設問があります。
重複順列や重複組合せは使用する種別毎の個数に制限がありません。ならば、個数に
制限がある場合はどうなるのか？
具体的に言うと、
ｎ 種のものから ｒ 個取り出す組合せ（並べ方）の総数を求めよ。
ただし、同種のもの同士に区別はなく、それぞれ a1、a2、a3、・・・、aｎ 個ずつ存在
し、 ｎ＝a1＋a2＋a3＋・・・＋aｎ≧ｒ とする。
ごく簡単なものについては計算出来ますが、より一般的なものについての包括的な式や
定理はどういったものになるのでしょうか？
この問いかけに対して、４月１５日付けで、らすかるさんは、
おそらく、「ごく簡単なものについては計算は出来ますが、より一般的なものについての包
括的な式や定理は存在しない」と思いますと述べられている。
私もらすかるさんに同感で、解法の指針は与えられても、具体的な公式を得ることは出来
ないだろうな〜と直観的に思いました。
４月１６日付けで、ＧＡＩさんが次の書籍を紹介されている。
日評数学選書「数え上げ組合せ論入門」
（成嶋 弘著 日本評論社 ISBN4-535-60138-0）
いろいろな数え上げに関する考察をコーシー・フロベニウスの定理により統一的視点から
記述されているとのことである。
私は、次の書籍がこの問題については大いに参考になるものと確信する。
Ｇ．ポリア、Ｒ．Ｅ．タージャン、Ｄ．Ｒ．ウッズ 著 今宮淳美 訳
組合せ論入門 （近代科学社）
４月１６日付けで、ａｔ さんが
求める場合の数は、
の展開式における ｘｒ の係数に等しい
と述べられているが、この母関数利用の方法は、上記の本の １１頁〜１５頁に詳しく記述
されている。
ａｔ さんの計算によれば、例えば、
ｎ＝５００ 、ｒ＝１０００ 、ａｊ＝ｊ （ ｊ＝１、２、・・・、ｎ ） のときの求める場合の数は、
＝67437688485159846865006105864543188233416431144570419716970023167492
754668340141452921577497235988038714364199582084267957349987726052909
174078840391375692844915973708233511193723261021381047652042172309628
558600375293549516060052492993528323385553789663008670297550191557409
356154541417380100551204881129712233947783683031299391260471601457521
58683103936526198611180521259061206710617857809451727609003289269893.
になるとのこと。
当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、平成２２年４月２９日付けで、ＨＮ「和哉ーｋ」さんが次の
ような書き込みをされた。
先日の授業で「ｎ回サイコロ投げたとき、出た目の数の和がｎ＋５になる確率を求めよ。」
という問題は、通常の解答以外に重複組み合わせでも解けると先生が言われたのですが、
分かる人教えてくれませんか？
この問いかけに対して、４月３０日付けで、らすかるさんは、
全部が 1 のとき合計が ｎ なので、あと 5 をどこかに足せば ｎ＋５ になります。よって、ｎ
回のうち重複を許して５個選べば場合の数が出るので、求める確率は ｎＨ5/６ｎ となります。
と明解に答えられた。この問題では、「＋５」が大きな意味を持っていて、らすかるさんの解
答で、１に５を足しても６となり、さいころの目の数を超えないという点がミソだろう。
そうすると、さいころの目の数を超える可能性のある「目の和がｎ＋６となる場合の数は？」
という問いかけが気になってくる。
これについても、４月３０日付けで、らすかるさんは、明解に答えられた。らすかるさんに感
謝します。
ａ≦５ のとき、和が ｎ＋ａ となるのは、 ｎＨａ 通り
ａ＝６ のとき、和が ｎ＋６ となるのは、７以上の目を許せば、 ｎＨ6 通り
このうち、７の目が出来てしまうものは、ｎ 通り
よって、和が ｎ＋６ となるのは、 ｎＨ6−ｎ 通り
ａ＝７ のとき、和が ｎ＋７ となるのは、７以上の目を許せば、 ｎＨ7 通り
このうち、７以上の目が出来てしまう箇所は、ｎ 通りで、そのうちの１通りに対
して、８の目または７と２の目が出来る場合の数は、ｎＨ1 通り
よって、和が ｎ＋７ となるのは、 ｎＨ7−ｎ・ｎＨ1 通り
（上記の、ｎ・ｎＨ1＝ｎ2 通りの計算は次のように考えてもよい。
８の目が出来てしまうものは、ｎ 通り
７の目と２の目が出来てしまうのは、ｎ・（ｎ−１） 通り
よって、７以上の目が出来てしまうのは、 ｎ＋ｎ・（ｎ−１）＝ｎ2 通り）
ａ＝７における考え方を振り返ると、ａ＝６の場合は、ｎＨ6−ｎ・ｎＨ0 通りとも考えられる。
同様にして、
和が、ｎ＋８ となるのは、 ｎＨ8−ｎ・ｎＨ2 通り
和が、ｎ＋９ となるのは、 ｎＨ9−ｎ・ｎＨ3 通り
和が、ｎ＋１０ となるのは、 ｎＨ10−ｎ・ｎＨ4 通り
和が、ｎ＋１１ となるのは、 ｎＨ11−ｎ・ｎＨ5 通り
和が、ｎ＋１２ となる場合、上記と同様に考えると、 ｎＨ12−ｎ・ｎＨ6 通りである。
しかし、ｎ・ｎＨ6 通りの中には、２箇所で７になる場合も含まれているので、この場合は除
外しなければならない。２箇所で７になる場合の数は、ｎＣ2・ｎＨ0 通りなので、
求める場合の数は、 ｎＨ12−ｎ・ｎＨ6＋ｎＣ2・ｎＨ0 通り
上記の考え方を振り返ると、 ｎＨ12−ｎＣ1・ｎＨ6＋ｎＣ2・ｎＨ0 通りとも考えられる。
同様にして、
和が、ｎ＋１３ となるのは、 ｎＨ13−ｎＣ1・ｎＨ7＋ｎＣ2・ｎＨ1 通り
和が、ｎ＋１４ となるのは、 ｎＨ14−ｎＣ1・ｎＨ8＋ｎＣ2・ｎＨ2 通り
和が、ｎ＋１５ となるのは、 ｎＨ15−ｎＣ1・ｎＨ9＋ｎＣ2・ｎＨ3 通り
和が、ｎ＋１６ となるのは、 ｎＨ16−ｎＣ1・ｎＨ10＋ｎＣ2・ｎＨ4 通り
和が、ｎ＋１７ となるのは、 ｎＨ17−ｎＣ1・ｎＨ11＋ｎＣ2・ｎＨ5 通り
和が、ｎ＋１８ となるのは、 ｎＨ18−ｎＣ1・ｎＨ12＋ｎＣ2・ｎＨ6−ｎＣ3・ｎＨ0 通り
和が、ｎ＋１９ となるのは、 ｎＨ19−ｎＣ1・ｎＨ13＋ｎＣ2・ｎＨ7−ｎＣ3・ｎＨ1 通り
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
以上から、一般に、和が、ｎ＋ａ となる場合の数は、
となる。
（コメント） 今まで知らない公式で、感動しました！重複組合せの考え方が巧妙に使われ
ていますね。
この話題について、ＧＡＩ さんからご教示頂きました。（平成２２年５月２日付け）
ｎ 個のサイコロを投げるとき、目の和が Ｎ となる場合の数は、多項式
（ｘ＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＋ｘ6）ｎ
を展開したときの、ｘＮ の係数を調べればいいと聞いたことがあります。
適当なソフト（MathematicaやPARI/GP）で展開してやれば比較的簡単に求まります。
（コメント） この解法は、４月１６日付けで、ａｔ さんが紹介した多項式の特別な場合になり
ますね！
以下、工事中