各位の数の和                              戻る

 ある数 N を平方すると非常に大きな数が得られるが、この平方数 N2 にはどのような数
理が潜んでいるだろうか?

 たとえば、 N=111 のとき、 N2=12321 である。( → 参考:「連綿と続く1」)

また、 N=111111111 のとき、 N2=12345678987654321 である。

 このとき、平方数の各位の数の和に着目すると、

 N2=12321 の場合は、 1+2+3+2+1=9

 N2=12345678987654321 の場合は、

   1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=45+36=81

となり、何れも9の倍数となっている。

 これは、 N=111が3の倍数であること、N=111111111が9の倍数であることから
当たり前のことだろう。

 N=1111 のとき、 N2=1234321 であり、 1+2+3+4+3+2+1=16 から、

脆くも、平方数 N2 に潜む数理は予想だにできない...雰囲気。

 それでは、電卓では求められない平方数 N2 の各位の数の和を求めることに専心するこ
とにしよう。

 N=3333・・・・・・33 (3が100個並ぶ数) に対して、その平方数 N2 の各位の
数の和を求めよ。


(解) 3N=9999・・・・・・99=10100−1 なので、

    9N2=(10100−1)2=10200−2・10100+1=10200−1−2(10100−1)

  よって、 N2=10199+10198+・・・+102+10+1
                             −2(1099+1098+・・・+102+10+1)

         =10199+10198+・・・+10100−(1099+1098+・・・+102+10+1)

         =1111・・・・・・1108888・・・・・・889
           (1が99個、0が1個、8が99個、9が1個

  したがって、N2 の各位の数の和は、

      1×99+0+8×99+9=900

 である。

(コメント) Excel さんに、 3333333×3333333 を計算してもらうと、

           11111108888889

     となり、上記の計算の理論と一致する。