完全数　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　戻る

　ある数の約数（但し、自分自身は除く）の総和がある数自身に等しいとき、その数のこと
を、完全数という。

　完全数で一番有名な数は、６ である。

実際に、６ の約数は、１、２、３ なので、１＋２＋３＝６ が成り立っている。

　６ という数は、神（１）・男（２）・女（３）を含む「世界」を表現しているので、完全数と呼ばれ
たらしい。

　完全数は、６ 以外に、２８、４９６、．．．などが知られている。

この完全数を求める面白い方法があることを最近知ったので、ここで、まとめておきたい。

　１ばかり並べた２進数を、メルセンヌ数という。

　１１、１１１、１１１１、１１１１１、１１１１１１、１１１１１１１、．．．　

　これらを、十進数に直せば、次のようである。

　　　　　１１＝１・２＋１＝３＝２2−１
　　　　１１１＝１・２2＋１・２＋１＝７＝２3−１
　　　１１１１＝１・２3＋１・２2＋１・２＋１＝１５＝２4−１
　　１１１１１＝１・２4＋１・２3＋１・２2＋１・２＋１＝３１＝２5−１
　１１１１１１＝１・２5＋１・２4＋１・２3＋１・２2＋１・２＋１＝６３＝２6−１
１１１１１１１＝１・２6＋１・２5＋１・２4＋１・２3＋１・２2＋１・２＋１＝１２７＝２7−１
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　メルセンヌ数は、一般に、Ｍn＝２n−１ の形で知られている。

　見て分かるように、メルセンヌ数には素数であるものと、そうでないものが混在している。

　ｎ が合成数のとき、明らかに、Ｍｎ は素数になりえない。Ｍｎ が素数となるためには、ｎ
が素数であることが必要条件である。

特に、メルセンヌ数が素数となる場合、それは、メルセンヌ素数といわれる。（メルセンヌ
素数を、単に、メルセンヌ数という場合もある。）

　メルセンヌ素数は、まだそれほど数多く（３１個位？）は知られていない。

　その数が素数かどうかを判定することは、一般に大変であるが、Ｌｕｃａｓは、次の非常に
能率的なＬｕｃａｓの定理（ルカステスト）を発見し、その労力は大幅に緩和された。

Ｌｕｃａｓの定理（１８７６年）

　数列｛ａｎ｝を、ａ1＝４、ａｎ＋１＝ａｎ2−２　により定義する。
　　　　４，１４，１９４，３７６３４，１４１６３１７９５４，・・・
このとき、Ｍｎ （ｎ は３以上の素数）が素数であるための必要十分条件は、
ａｎ−１ がＭｎ で割り切れることである。

例　ａ2÷Ｍ3＝１４÷７＝２ で割り切れる。よって、Ｍ3 はメルセンヌ素数である。

　　ａ4÷Ｍ5＝３７６３４÷３１＝１２１４ で割り切れる。

　　　よって、Ｍ5 はメルセンヌ素数である。

　上の例では、実際に、ａ2、Ｍ3 などの値を求めて、割り算を実行したが、その方法は、あ
まり実戦的ではない。次のように計算するのが普通らしい。

　Ｍ5＝３１ に注意して、ａ1＝４
　　　　　　　　　　　　　　　ａ2＝１６−２＝１４
　　　　　　　　　　　　　　　ａ3＝１４2−２＝１９６−２＝１９４≡８　（ｍｏｄ　３１）
　　　　　　　　　　　　　　　ａ4≡６４−２＝６２≡０　（ｍｏｄ　３１）

　よって、ａ4 が、Ｍ5 で割り切れるので、Ｌｕｃａｓの定理より、Ｍ5 はメルセンヌ素数である。

　メルセンヌ素数を用いると、完全数は簡単に作られる。

定理(Euclid)　　Ｍｎ をメルセンヌ素数とすれば、Ｍｎ（Ｍｎ＋１）/２ は完全数である。

（証明）　Ｍｎ＝２n−１ より、

　　Ｍｎ（Ｍｎ＋１）/２＝（２n−１）・２n/２＝（２n−１）・２ｎ−1 である。

この約数の総和は、２n−１ が素数であることに注意して、

　　（１＋２＋２2＋・・・＋２ｎ−１）（１＋２n−１）＝（２n−１）・２ｎ

　　ここで、　Ｓ＝１＋２＋・・・・・・＋２ｎ-1　とおくと、２Ｓ＝　　２＋２2＋・・・＋２ｎ-1＋２ｎ　より、

　Ｓ＝２ｎ−１　である。（詳しくは、「約数の個数と和」を参照）

この和から、自分自身を差し引けば、

　　　（２n−１）・２ｎ−（２n−１）・２ｎ−1＝（２n−１）・２ｎ−1・（２−１）＝（２n−１）・２ｎ−1

となって、自分自身と一致する。

したがって、Ｍｎ（Ｍｎ＋１）/２ は、完全数である。（証終）

（注）この事実は、既にユークリッド原論で示されていることらしい。ギリシャ時代に完全数
　　は　６、２８、４９６、８１２８ の４個が知られていたようだ。

例　冒頭であげた完全数は、次のようにして求められる。
　　Ｍ2＝３　より、３・（３＋１）/２＝６
　　Ｍ3＝７　より、７・（７＋１）/２＝２８
　　Ｍ5＝３１　より、３１・（３１＋１）/２＝４９６

　したがって、４９６の次の完全数も容易に求められる。

　　　　Ｍ7＝１２７　より、１２７・（１２７＋１）/２＝８１２８

　Ｅｕｌｅｒ によれば、偶数の完全数は必ずこの方法で求められるようだ。

　ところで、奇数の完全数が存在するかどうかは、まだ分かっていないようだ。

（参考文献：小島寛之　著　数学の遺伝子（日本実業出版社）
　　　　　　　　和田秀男　著　数の世界　整数論への道（岩波書店）
　　　　　　　　Ｍ．ラインズ　著　片山孝次　訳　数　その意外な表情（岩波書店））

（追記）　広島工業大学の大川研究室から情報をいただいた。

　　　　　２００２年６月９日現在、３９個のメルセンヌ素数が発見されている。従って、完全数
　　　　も３９個あることになる。

　　　　　　最大のメルセンヌ素数は、現在、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２13466917−１
　　　　で、４，０５３，４９６桁の数である。

　　　　　　これらは、スーパーパソコンを用いて計算したのではなく、世界中の２０万台以上
　　　　のパソコンが参加して発見されたとのことである。「すごい！」の一語である。

　　　　（参照ＨＰ：http://www2.biglobe.ne.jp/~ytajima/perfect_number.html）


（追々記）　２００３年１２月３日、過去最大の素数が発見された（検証により、確認）。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２20996011−１

　　　　　　　６３２万４３０桁の数で、４０番目のメルセンヌ数だという。

　　　　　　ミシガン州立大学の大学院生マイケル・シェイファー（Ｍｉｃｈａｅｌ　Ｓｈａｆｅｒ）さんが
　　　　　　中心となって、世界中の２００万台を越えるパソコンを結んで、２年がかりの計算
　　　　　　で発見されたとのことである。


（追々々記）　平成１９年１２月２０日付け

　メルセンヌ数 Ｍｎ の ｎ の部分を一覧にすると、下記のようになる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（参考：「メルセンヌ素数について」）

1 2 3 4 5
2 3 5 7 13
　
6 7 8 9 10
17 19 31 61 89
　
11 12 13 14 15
107 127 521 607 1279
　
16 17 18 19 20
2203 2281 3217 4253 4423
　
21 22 23 24 25
9689 9941 11213 19937 21701
　
26 27 28 29 30
23209 44497 86243 110503 132049
　
31 32 33 34 35
216091 756839 859433 1257787 1398269
　
36 37 38 39 40
2976221 3021377 6972593 13466917 20996011
　
41 ？ ？ ？
24036583 25964951 30402457 32582657

　？のものは、まだ何番目かが確定していないらしい。（発見者は上記ＨＰを参照）

　４１番目のメルセンヌ数は、２００４年に発見された。７２３万５７８３桁と聞いても、あまり
ピンとこないが、１桁当たり４ｍｍの文字の幅（今、この文章を書いている文字の幅！）と
して、１直線にすべて書き並べると、その長さは、

　　　　７２３５７８３×４÷１０÷１００÷１０００＝２８．９４３１３２　（ｋｍ）

から、およそ ２９ ｋｍ ほどにもなる。

　この距離は、東京都中央区日本橋から第一京浜国道に沿って、ちょうど横浜市神奈川
区までにほぼ等しい。（大体の長さの感覚が掴めたかな？）

（コメント）　１ｋｍ３分の人が走っても、１時間２７分もかかる（！）し、普通に歩いて（分速
　　　　　　８０ｍ）も６時間くらいかかる距離ですね。非常に長い数の並びということがイメ
　　　　　　ージできます。

（追記）　平成２１年５月９日付け

　ゴールデンウィーク中、あまり晴天に恵まれなかったが、今日は久しぶりの好天が望め
そうである。当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ｚｋ４３」さんから、次のような事実を
ご教示いただいた。

　　　６以外の完全数は、１から始まる連続する奇数の立方和で表せる

　例えば、

　　２８＝１3＋３3（＝１＋２７）　、４９６＝１3＋３3＋５3＋７3（＝１＋２７＋１２５＋３４３）

　　８１２８＝１3＋３3＋５3＋７3＋９3＋１１3＋１３3＋１５3
　　　　　（＝１＋２７＋１２５＋３４３＋７２９＋１３３１＋２１９７＋３３７５）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　（う〜む、なるほど！）

　ｚｋ４３さんによれば、

　　１3＋３3＋５3＋・・・＋（２ｎ−１）3

　

において、　　とすると、右辺が　２ｐ-1（２ｐ−１）　となり、これは、メルセンヌ数

Ｍｐ＝２ｐ−１　に対して、Ｍｐ（Ｍｐ＋１）/２＝２ｐ−１（２ｐ−１） が完全数であることから

　６以外の偶数の完全数は、必ず、１から始まる連続する奇数の立方和で表せる

ことが示された。

（コメント）　奇数の完全数の存在は、まだ不明だが、奇数の完全数についてはどうなんで
　　　　　　しょうかね？

　　８１２８ の次の完全数は、Ｍ13＝２13−１＝８１９１　（１４５６年　発見者不明）を用いて、

　　　　　　　８１９１×８１９２÷２＝３３５５０３３６

である。

　理論的には明白だが、具体的に確かめてみよう。

　３３５５０３３６＝２12・８１９１　なので、約数は全部で、（１２＋１）（１＋１）＝２６（個）

あり、その約数は、

　１、２、４、８、１６、３２、６４、１２８、２５６、５１２、１０２４、２０４８、４０９６、

　８１９１、１６３８２、３２７６４、６５５２８、１３１０５６、２６２１１２、５２４２２４、１０４８４４８、

　２０９６８９６、４１９３７９２、８３８７５８４、１６７７５１６８、３３５５０３３６

で、その総和は、　６７１００６７２　で、　６７１００６７２÷２＝３３５５０３３６　より、確かに

３３５５０３３６　は完全数である。

　このとき、ｚｋ４３さんの解法の指針に従えば、ｎ＝２6＝６４　なので、

　　３３５５０３３６＝１3＋３3＋５3＋・・・＋１２７3

と書けることが分かる。

（コメント）　とても面白い性質ですね！ｚｋ４３さんに感謝します。

　また、Ｓ（Ｈ）さんからの情報によれば、偶数の完全数には次の性質もあるそうだ。

　　偶数の完全数は、三角数である

　証明は易しい。

　偶数の完全数は、素数 ｐ を用いて、２ｐ−１（２ｐ−１） と表せる（Ｅｕｌｅｒ）ので、

　　　　２ｐ−１（２ｐ−１）＝２ｐ（２ｐ−１）/２＝１＋２＋３＋・・・＋（２ｐ−１）

より明らかだろう。

　さらに、

　　偶数の完全数の末尾は、必ず、６ または ８ である

という事実も興味深い。

　これは、２より大きい素数が、４ｎ＋１型か、４ｎ＋３型の何れかであることから簡単に示
される。

　実際に、　ｐ＝４ｎ＋１　（ｎ は自然数）　のとき、

　　２ｐ−１（２ｐ−１）＝１６ｎ（２・１６ｎ−１）

　　ここで、　１６ｎ＝（１０＋６）ｎ≡６ｎ≡６　（ｍｏｄ　１０）　なので、

　　２ｐ−１（２ｐ−１）＝１６ｎ（２・１６ｎ−１）≡６（２・６−１）≡６　（ｍｏｄ　１０）

　同様にして、　ｐ＝４ｎ＋３　（ｎ は自然数）　のとき、

　　２ｐ−１（２ｐ−１）＝４・１６ｎ（８・１６ｎ−１）

　　ここで、　１６ｎ＝（１０＋６）ｎ≡６ｎ≡６　（ｍｏｄ　１０）　なので、

　　２ｐ−１（２ｐ−１）＝４・１６ｎ（８・１６ｎ−１）≡４・６（８・６−１）≡４・７≡８　（ｍｏｄ　１０）

である。　ｐ＝２　のときの完全数は６なので、もちろん命題は成り立っている！

（コメント）　Ｓ（Ｈ）さんの情報検索はスゴイですね！いつも感謝しています。

　奇数の完全数の存在は、まだ不明らしいが、奇数の完全数に関して、ｚｋ４３さんより情報
をいただいた。（平成２１年５月１３日付け）

　素因数の種類が２種類の奇数は完全数ではない

（証明）　Ｎ＝ｐｍ・ｑｎ　（ｐ、ｑ は奇素数で、ｐ＜ｑ、ｍ、ｎ は自然数）とする。

　　　　このとき、Ｎの正の約数の総和 Ｓ は、

　　　　　　Ｓ＝（１＋ｐ＋ｐ2＋・・・＋ｐｍ）（１＋ｑ＋ｑ2＋・・・＋ｑｎ）

　　　　そこで、

　　　Ｓ/Ｎ＝（１/ｐｍ＋１/ｐｍ-1＋・・・＋１/ｐ＋１）（１/ｑｎ＋１/ｑｎ-1＋・・・＋１/ｑ＋１）

　　　　　　＜（１＋１/ｐ＋１/ｐ2＋・・・＋１/ｐｍ＋・・・）（１＋１/ｑ＋１/ｑ2＋・・・＋１/ｑｎ＋・・・）

　　　　　　≦（１＋１/３＋１/３2＋・・・＋１/３ｍ＋・・・）（１＋１/５＋１/５2＋・・・＋１/５ｎ＋・・・）

　　よって、

　　　Ｓ/Ｎ＜｛１/（１−１/３）｝・｛１/（１−１/５）｝＝１５/８＜２

　　もし、Ｎが完全数ならば、　Ｓ＝２Ｎ　でなければならないので、このことから、

　　　素因数の種類が２種類の奇数は完全数にはなり得ない

　ことが示された。　　（証終）


（コメント）　ｚｋ４３さん、ありがとうございます。奇数の完全数って、本当に存在するのでしょ
　　　　　　うか？