倍数の判定　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　数を扱うとき、その数の特徴を瞬時に理解することは大切なことである。

例　１２３４５　は、１５ の倍数である。
　　 ９２４　は、４ で割り切れる。

　分数計算等で、たとえば、１５２１/６１２　などを瞬時に　１６９/６８　と約分してみせると、
たいていの生徒はびっくりするが、そのからくりは、数の特徴を知っているかどうかにかか
っている。（分子、分母ともに ９ の倍数なので、９ で割っているにすぎない。）

　上記の判定方法を統一的に理解するために、次のことを知らなくてはならない。

十進法展開　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ

　　　　　 　　　（　ただし、ａ、・・・、ｂ、ｃ、ｄ　は整数で、０ ≦ ａ、・・・、ｂ、ｃ、ｄ ≦ ９、ａ≠０ )

合　同　式　：　こちら を参照

　さて、倍数の判定について、その理論的根拠をまとめておこう。

　２ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、１０とその
　　　　　　　　　　　　　べきは、２の倍数なので、一の位の数 ｄ が２の倍数かどうかを判断
　　　　　　　　　　　　　すればよい。

　３ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、
　　　　　　　　　　　　　１０≡１　（ｍｏｄ　３）から、１０^ｎ≡１　（ｍｏｄ　３）である。よって、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ≡ ａ＋・・・＋ｂ＋ｃ＋ｄ　となり、Ｎ ≡ ０　（ｍｏｄ　３）となるために
　　　　　　　　　　　　　は、ａ＋・・・＋ｂ＋ｃ＋ｄ ≡ ０　（ｍｏｄ　３）であることが必要十分であ
　　　　　　　　　　　　　る。

　４ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、
　　　　　　　　　　　　　１０²≡０　（ｍｏｄ　４）であるので、ｃ×１０＋ｄ　すなわち、下二桁が
　　　　　　　　　　　　　４の倍数かどうかが、Ｎが４の倍数かどうかを判断する基準となる。

　　　　　　　　　　　　広島工業大学の大川研究室から、次のような判定法があることをお教えいただいた。
　　　　　　　　　　　　　　ｃ×１０＋ｄ　が４の倍数のとき、ｃ×１０＋ｄ＝４ｋ　（ｋ は整数）とお
　　　　　　　　　　　　　ける。このとき、ｃ×１０＋ｄ ≡ ｄ ≡ ０　（ｍｏｄ　２）なので、ｄ＝２ｄ’
　　　　　　　　　　　　　とおける。よって、ｃ×１０＋２ｄ’＝４ｋ　より、５ｃ＋ｄ’＝２ｋ　なので、
　　　　　　　　　　　　　５ｃ＋ｄ’≡ｃ＋ｄ’≡０　（ｍｏｄ　２）となる。
　　　　　　　　　　　　　逆に、ｃ＋ｄ’≡０　（ｍｏｄ　２）のとき、ｃ×１０＋ｄ　は４の倍数となる。

　５ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、１０とその
　　　　　　　　　　　　　べきは、５の倍数なので、一の位の数 ｄ が５の倍数かどうかを判断
　　　　　　　　　　　　　すればよい。

　６ の倍数の判定　：　６＝２×３　で、２と３は互いに素であることから、２の倍数かつ３の
　　　　　　　　　　　　　倍数かどうかを調べればよい。

　７ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、
　　　　　　　　　　　　　１０³≡−１　（ｍｏｄ　７）であるので、末位から３桁ごとに区切った数
　　　　　　　　　　　　　　Ａ₀（＝ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ）、Ａ₁、・・・、Ａ_ｍ　について、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ＝ Ａ_ｍ×１０^3m＋・・・＋Ａ₁×１０³＋Ａ₀
　　　　　　　　　　　　　　 ≡Ａ₀−Ａ₁＋Ａ₂−・・・　　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　　　　　　　よって、Ｎ が７の倍数となるためには、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ₀−Ａ₁＋Ａ₂−・・・≡ ０　　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　　　　　　　であることが必要十分である。

　　　　　（コメント）　この７の倍数の判定法については少し不満がある。簡単な計算で求め
　　　　　　　　　　　られないので、多分実際に割った方が早いだろう！もっと簡便な方法が
　　　　　　　　　　　ないかどうか、今後の研究課題としたい。

　　　　　例　７桁の数　２１９８４５５　は７の倍数か？

　　　　　　　　２−１９８＋４５５＝２５９＝７×３７　なので、７の倍数である。

　　　　　上記の判定法では、必ず最後に３桁の数が７の倍数かどうかの判定が要求され
　　　　る。３桁の数については、次のような判定法が知られている。

　　　　　　３桁の数 ａｂｃ が、７の倍数になるのは、ａｂ−２ｃ　が７の倍数のとき

　　　　　言葉では説明が長くなってしまうので、次の例で理解してもらいたい。

　　　　　例　２５９　について、２５−９×２＝７　が７の倍数なので、２５９も７の倍数。

　　　　　（理論的根拠）　３桁の数　ａ×１０²＋ｂ×１０＋ｃ ＝１０（ａ×１０＋ｂ）＋ｃ　と変形
　　　　　　　　　　　　　　することにより、３桁の数は、１０Ａ＋ｃ　（Ａは上位２桁の数）と書け
　　　　　　　　　　　　　　る。このとき、１０Ａ＋ｃ≡０　（ｍｏｄ　７）ならば、
　　　　　　　　　　　　　　１０Ａ＋ｃ≡２０Ａ＋２ｃ≡−Ａ＋２ｃ≡Ａ−２ｃ≡０　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　　　　　　　　逆に、Ａ−２ｃ≡０　（ｍｏｄ　７）のとき、
　　　　　　　　　　　　　　２（１０Ａ＋ｃ）＝２０Ａ＋２ｃ≡２０Ａ＋２ｃ＋Ａ−２ｃ　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　　　　　　　　なので、２（１０Ａ＋ｃ）≡２１Ａ≡０　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　　　　　　　　２と７は互いに素なので、１０Ａ＋ｃ≡０　（ｍｏｄ　７）である。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（→　参考：「７の倍数」）

　　　　　　（追記）　平成２１年４月２１日付け

　　　　　　　　上記の３桁の場合の７の倍数の判定方法が、朝日新聞（４/２１付け朝刊）の
　　　　　　　科学のページのコラム「小島寛之の数学カフェ」で取り上げられた。

　　　　　　　　その中で、「けたが増えれば、これを繰り返せばいい。」とあるが、どのような
　　　　　　　計算をすればいいのか、よく分からなかった。

　　　　　　　　上記の計算は、３桁の場合に限定した特別な計算なので、桁が増えた場合
　　　　　　　は、たとえば、２１９８４５５　は、「２−１９８＋４５５＝２５９＝７×３７」　のように
　　　　　　　全体を見据えて計算しないと正しい倍数の判定は出来ないと思う。

　　　　　　　　小島先生は、どのような計算を考えて上記の文章に至ったのか、全く不明で
　　　　　　　ある。今度、朝日新聞に問い合わせてみよ〜っと！


　　　　　　　　　上記の私の疑問に対して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「攻略法」
　　　　　　　　さんが答えてくれた。

　　　　　　　　　３桁の数 ａｂｃ が、７の倍数になるのは、ａｂ−２ｃ　が７の倍数のとき

　　　　　　　　を一般化したもののようだ。（平成２３年７月４日付け）

　　　　　　　　　十の位以上と一の位を切り離し、前者から後者の2倍を引く。この操作を繰
　　　　　　　　り返して、２桁か１桁になって、それが７の倍数なら元の数も７の倍数となる。

　　　　　　　　　例　2198455の場合

　　　　　　　　　　　219845-2*5=219835
　　　　　　　　　　　21983-2*5=21973
　　　　　　　　　　　2197-2*3=2191
　　　　　　　　　　　219-2*1=217
　　　　　　　　　　　21-2*7=7

　　　　　　　　　例　864197523861の場合

　　　　　　　　　　　86419752386-2*1=86419752384
　　　　　　　　　　　8641975238-2*4=8641975230
　　　　　　　　　　　864197523-2*0=864197523
　　　　　　　　　　　86419752-2*3=86419746
　　　　　　　　　　　8641974-2*6=8641962
　　　　　　　　　　　864196-2*2=864192
　　　　　　　　　　　86419-2*2=86415
　　　　　　　　　　　8641-2*5=8631
　　　　　　　　　　　863-2*1=861
　　　　　　　　　　　86-2*1=84
　　　　　　　　　　　8-2*4=0

　　　　　　　　　　実際に、このことを証明してみよう。

　　　　　　　　　　　　ｋ桁の自然数AB…CDが７の倍数になるのは、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　AB…C-2*D が７の倍数のとき

　　　　　　　　（証明）　

　　　　　　　　　　2*AB…CD+(AB…C-2*D)＝2*(10*AB…C+D)+AB…C-2*D＝21*AB…C

　　　　　　　　　より、AB…C-2*D が７の倍数のとき、AB…CD は７の倍数になる。　（証終）

　　　　　　　他に、「百の位以上と十、一の位を切り離す」方法もある。

　　　　　　　　　　　　ｋ桁の自然数AB…CDが７の倍数になるのは、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2*A…B+CD が７の倍数のとき

　　　　　　　　（証明）

　　　　　　　　　　A…BCD＝A…B*100+CD＝A…B*(7*14+2)+CD≡2*A…B+CD （mod 7）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証終）

　　　　　　　　　例　2198455の場合

　　　　　　　　　　　2*21984+55=44023
　　　　　　　　　　　2*440+23=903
　　　　　　　　　　　2*9+3=21

　　　　　　　　　例　864197523861の場合

　　　　　　　　　　　2*8641975238+61=17283950537
　　　　　　　　　　　2*172839505+37=345679047
　　　　　　　　　　　2*3456790+47=6913627
　　　　　　　　　　　2*69136+27=138299
　　　　　　　　　　　2*1382+99=2863
　　　　　　　　　　　2*28+63=119
　　　　　　　　　　　2*1+19=21

　　　　　　　（コメント）　小島先生の「繰り返し」の意味が分かりました！攻略法さんに感謝
　　　　　　　　　　　　　します。

　　　　　　　　　なお、同様の話題が、こちらにもあることを、広島工業大学　大川研究室より
　　　　　　　　ご教示いただいた。（平成２３年７月９日付け）

　　　　　　　　　　HPサイト「ＮａｚｏＬａｂ」の中の「７の倍数の見極め方」


　　　　　（追記）　平成２１年１１月２１日付け

　　　　　　　　当ＨＰの読者であるＨＮ「ｊａｉａｓｏ」さんから、７の倍数の判定法で上記で述べた
　　　　　　　方法とは異なるものがある旨、ご教示いただいた。その方法は、

　　　　　　　　　中村義作　著　　コンピュータもびっくり！速算100のテクニック
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（講談社ブルーバックス）

　　　　　　　に書かれているとのこと。早速その書籍を買い求め、研究を行った。

　　　　　　　　上記では、　１０³≡−１　（ｍｏｄ　７）　であることを用いて、３桁毎に交互に足
　　　　　　　したり引いたりしてできる数が７の倍数かどうかで判定した。

　　　　　　　　新しい方法では、　１０⁶≡１　（ｍｏｄ　７）　であることに注目する。

　　　　　　　　このとき、　ａｂ・・・ｃ００００００ ≡ ａｂ・・・ｃ　（ｍｏｄ　７）　となるので、基本的に
　　　　　　　は６桁以下の数について議論すればよいことが分かる。

　　　　　　　　そこで、（見かけ上）６桁の数を、

　　　　　　　　　　　　ａｂｃｄｅｆ＝ａ×１０⁵＋ｂ×１０⁴＋ｃ×１０³＋ｄ×１０²＋ｅ×１０＋ｆ

　　　　　　　とおき、末尾から２桁ずつ組み合わせて、

　　　　　　　　　　ａｂｃｄｅｆ＝（ａ×１０⁵＋ｂ×１０⁴）＋（ｃ×１０³＋ｄ×１０²）＋ｅ×１０＋ｆ

　　　　　　　と考える。　ここで、　ａ×１０＋ｂ ≡ Ａ　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｃ×１０＋ｄ ≡ Ｂ　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｅ×１０＋ｆ ≡ Ｃ　（ｍｏｄ　７）

　　　　　　　とおくと、　ａｂｃｄｅｆ≡Ａ×１０⁴＋Ｂ×１０²＋Ｃ　（ｍｏｄ　７）　となる。

　　　　　　　　ところで、　１０⁴＝１０・１０³≡−１０≡４　（ｍｏｄ　７）　、１０²≡２　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　であるので、　ａｂｃｄｅｆ≡４Ａ＋２Ｂ＋Ｃ　（ｍｏｄ　７）　となる。

　　　　　　　　したがって、
　　　　　　　　（１０Ｂ＋Ｃ）−（１０Ａ＋Ｂ）＝−１０Ａ＋９Ｂ＋Ｃ≡４Ａ＋２Ｂ＋Ｃ　（ｍｏｄ　７）
　　　　　　　であることから、６桁の数 ａｂｃｄｅｆ が７で割り切れるためには、

　　　　　　　　　　　　　（１０Ｂ＋Ｃ）−（１０Ａ＋Ｂ）　が７の倍数

　　　　　　　であることが必要十分である。

　　　　　　　例　６桁の数　２２７７５２　は７の倍数か？

左図の計算から、 　　　２２７７５２　は７の倍数である。

　　　　　　（コメント）　３桁ずつ区切るよりも、この方が計算が簡単ですね！
　　　　　　　　　　　　この解法をご教示いただいた ｊａｉａｓｏ さんに感謝します。

　　　　　　　この解法を用いると、先に上げた例も次のように解かれる。

　　　　　　例　７桁の数　２１９８４５５　は７の倍数か？

　　　　　　　　　　２００００００ ≡ ２　（ｍｏｄ　７）　なので、

　　　　　　　　　　　　　２１９８４５５ ≡ １９８４５５＋２＝１９８４５７　（ｍｏｄ　７）

左図の計算から、 　　　１９８４５７　は７の倍数である。

　　　　　　　　　したがって、　２１９８４５５　は７の倍数である。

　　　　　　　　上記の計算では、「２」を６桁の数に加えたが、６桁の場合と同様の計算を７
　　　　　　　桁目以降についても適用すれば次のような計算となる。

　　　　　　例　１２桁の数　８６４１９７５２３８６１　は７の倍数か？

左図の計算から、１２桁の数 　　８６４１９７５２３８６１ は７の倍数である。

　８ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、
　　　　　　　　　　　　　１０³≡０　（ｍｏｄ　８）であるので、ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　すなわち、
　　　　　　　　　　　　　下三桁が８の倍数かどうかが、Ｎが８の倍数かどうかを判断する基
　　　　　　　　　　　　　準となる。

　　　　　　　　　　　　広島工業大学の大川研究室から、次のような判定法があることをお教えいただいた。
　　　　　　　　　　　　　　ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　が８の倍数のとき、
　　　　　　　　　　　　　ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ＝８ｋ　（ｋ は整数）とおける。
　　　　　　　　　　　　　このとき、ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ ≡ ｄ ≡ ０　（ｍｏｄ　２）なので、
　　　　　　　　　　　　　ｄ＝２ｄ’とおける。よって、ｂ×１０²＋ｃ×１０＋２ｄ’＝８ｋ　より、
　　　　　　　　　　　　　ｂ×５０＋５ｃ＋ｄ’＝４ｋ　なので、
　　　　　　　　　　　　　ｂ×５０＋５ｃ＋ｄ’≡ｃ＋ｄ’≡０　（ｍｏｄ　２）となる。
　　　　　　　　　　　　　ｃ＋ｄ’＝２ｄ”とおけるので、ｂ×５０＋５ｃ＋ｄ’＝４ｋ　に代入して、
　　　　　　　　　　　　　ｂ×５０＋４ｃ＋２ｄ”＝４ｋ　となる。
　　　　　　　　　　　　　よって、ｂ×２５＋２ｃ＋ｄ”＝２ｋ　より、ｂ＋ｄ”≡０　（ｍｏｄ　２）
　　　　　　　　　　　　　逆に、ｂ＋ｄ”≡０　（ｍｏｄ　２）のとき、ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　は８の
　　　　　　　　　　　　　倍数となる。

　９ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、
　　　　　　　　　　　　　１０≡１　（ｍｏｄ　９）から、１０^ｎ≡１　（ｍｏｄ　９）である。よって、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ≡ ａ＋・・・＋ｂ＋ｃ＋ｄ　となり、Ｎ ≡ ０　（ｍｏｄ　９）となるために
　　　　　　　　　　　　　は、ａ＋・・・＋ｂ＋ｃ＋ｄ ≡ ０　（ｍｏｄ　９）であることが必要十分であ
　　　　　　　　　　　　　る。

１０ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、１０とその
　　　　　　　　　　　　　べきは、１０の倍数なので、一の位の数 ｄ が０かどうかを判断すれ
　　　　　　　　　　　　　ばよい。

１１ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、
　　　　　　　　　　　　　１０≡−１　（ｍｏｄ　１１）であるので、
　　　　　　　　　　　 　 Ｎ ≡ ａ×（−１）^ｎ＋・・・＋ｂ×（−１）²＋ｃ×（−１）＋ｄ　（ｍｏｄ　１１）
　　　　　　　　　　　　　よって、Ｎ が１１の倍数となるためには、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｄ−ｃ＋ｂ−・・・≡ ０　　（ｍｏｄ　１１）
　　　　　　　　　　　　　であることが必要十分である。

　　　　　例　６桁の数　６７４１３５　は１１の倍数か？

　　　　　　　　６−７＋４−１＋３−５＝０　なので、１１の倍数である。


　　　　　　　　　攻略法さんから、次のような判定法があることをご教示いただいた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年７月６日付け）

　　　　　　　十の位以上をX、一の位をYとすると、元の数は、１０X＋Y　である。このとき、

　　　　　　　　　１０X＋Y　が１１の倍数であるための必要十分条件は、
　　　　　　　X−Y　が１１の倍数であること

　　　　　（証明）　１０X＋Y≡０　 (ｍｏｄ　１１)　とすると、Y≡−１０X 　(ｍｏｄ　１１)　より、

　　　　　　　　　　−Y≡１０X　 (ｍｏｄ　１１)　なので、　X−Y≡１１X≡０　 (ｍｏｄ　１１）

　　　　　　　　逆に、　X−Y≡０　 (ｍｏｄ　１１)　とすると、　X≡Y 　（ｍｏｄ　１１）　なので、

　　　　　　　　１０X≡１０Y　 (ｍｏｄ　１１）　より、　１０X＋Y≡１１Y≡０　 (ｍｏｄ　１１)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証終）

　　　　　例　674135の場合

　　　　　　　67413-5=67408
　　　　　　　6740-8=6732
　　　　　　　673-2=671
　　　　　　　67-1=66　・・・　１１の倍数


　　　　　　　　　さらに、攻略法さんから、次のような判定法があることをご教示いただいた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年７月６日付け）

　　　　　　　百の位以上をX、一十の位をYとすると、元の数は、１００X＋Y　である。このとき、

　　　　　　　　　１００X＋Y　が１１の倍数であるための必要十分条件は、
　　　　　　　X＋Y　が１１の倍数であること

　　　　　（証明）　１００X＋Y≡０　 (ｍｏｄ　１１)　とすると、Y≡−１００X 　(ｍｏｄ　１１)　より、

　　　　　　　　　　X＋Y≡−９９Ｘ≡０　 (ｍｏｄ　１１）

　　　　　　　　逆に、　X＋Y≡０　 (ｍｏｄ　１１)　とすると、　X≡−Y 　（ｍｏｄ　１１）　なので、

　　　　　　　　１００X≡−１００Y　 (ｍｏｄ　１１）　より、　１００X＋Y≡−９９Y≡０　 (ｍｏｄ　１１)　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証終）

　　　　例　674135　の場合

　　　　　　6741+35=6776　　繰り返して、　67+76=143　、1+43=44　　よって、１１の倍数

１２ の倍数の判定　：　１２＝３×４　で、３と４は互いに素であることから、３の倍数かつ４の
　　　　　　　　　　　　　倍数かどうかを調べればよい。

１３ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋・・・＋ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ　において、
　　　　　　　　　　　　　１０³≡−１　（ｍｏｄ　１３）であるので、末位から３桁ごとに区切った数
　　　　　　　　　　　　　　Ａ₀（＝ｂ×１０²＋ｃ×１０＋ｄ）、Ａ₁、・・・、Ａ_ｍ　について、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ＝ Ａ_ｍ×１０^3m＋・・・＋Ａ₁×１０³＋Ａ₀
　　　　　　　　　　　　　　 ≡Ａ₀−Ａ₁＋Ａ₂−・・・　　（ｍｏｄ　１３）
　　　　　　　　　　　　　よって、Ｎ が１３の倍数となるためには、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ₀−Ａ₁＋Ａ₂−・・・≡ ０　　（ｍｏｄ　１３）
　　　　　　　　　　　　　であることが必要十分である。

１４ の倍数の判定　：　１４＝２×７　で、２と７は互いに素であることから、２の倍数かつ７の
　　　　　　　　　　　　　倍数かどうかを調べればよい。

１５ の倍数の判定　：　１５＝３×５　で、３と５は互いに素であることから、３の倍数かつ５の
　　　　　　　　　　　　　倍数かどうかを調べればよい。

１６ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０⁴＋ｂ　において、１０⁴≡０　（ｍｏｄ　１６）なので、Ｎが
　　　　　　　　　　　　　１６の倍数であることと、ｂ が１６の倍数であることは同値である。
　　　　　　　　　　　　　したがって、ｂ を２で割った数が８の倍数であることをみればよい。
　　　　　　　　　　　　　（もちろん、ｂ を４で割った数が４の倍数であることをみてもよい。）

１７ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０＋ｂ　において、ａ−５ｂ＝１７ｎ　（ｎ は整数）のとき、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ＝（５ｂ＋１７ｎ）×１０＋ｂ＝５１ｂ＋１７０ｎ＝１７×（３ｂ＋１０ｎ）
　　　　　　　　　　　　　より、Ｎは、１７の倍数となる。

　　　　　　　　　　　　　または、

　　　　　　　　　　　　　　末位から２桁ごとに区切った数　Ａ₀、Ａ₁、・・・、Ａ_ｍ　について、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ＝ Ａ_ｍ×１０^2m＋・・・＋Ａ₁×１０²＋Ａ₀　と書ける。
　　　　　　　　　　　　　　１０^2ｎ≡（−２）^ｎ　（ｍｏｄ　１７）なので、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ≡Ａ₀−２Ａ₁＋４Ａ₂−・・・　　（ｍｏｄ　１７）
　　　　　　　　　　　　　よって、Ｎ が１７の倍数となるためには、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ₀−２Ａ₁＋４Ａ₂−・・・≡ ０　　（ｍｏｄ　１７）
　　　　　　　　　　　　　であることが必要十分である。

　　　　　例　６桁の数　６７４１３５　は１７の倍数か？

　　　　　　　　３５−２×４１＋４×６７＝２２１＝１７×１３　なので、１７の倍数である。

１８ の倍数の判定　：　１８＝２×９　で、２と９は互いに素であることから、２の倍数かつ９の
　　　　　　　　　　　　　倍数かどうかを調べればよい。

１９ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０^ｎ＋ｂ×１０^ｎ-1＋・・・＋ｃ×１０＋ｄ　において、
　　　　　　　　　　　　　　２^ｎＮ ＝ ａ×２０^ｎ＋２ｂ×２０^ｎ-1＋・・・＋２^ｎ-1ｃ×２０＋２^ｎｄ
　　　　　　　　　　　　　　２０≡１　（ｍｏｄ　１９）なので、
　　　　　　　　　　　　　２^ｎＮ ≡ ａ＋２ｂ＋・・・＋２^ｎ-1ｃ＋２^ｎｄ　　（ｍｏｄ　１９）
　　　　　　　　　　　　このとき、２^ｎ は１９で割り切れないので、Ｎ が１９の倍数となるためには、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ａ＋２ｂ＋・・・＋２^ｎ-1ｃ＋２^ｎｄ≡ ０　　（ｍｏｄ　１９）
　　　　　　　　　　　　　であることが必要十分である。

　　　　　例　３桁の数　３２３　は１９の倍数か？

　　　　　　　　３＋２×２＋４×３＝１９　なので、１９の倍数である。

２０ の倍数の判定　：　２０＝４×５　で、４と５は互いに素であることから、４の倍数かつ５の
　　　　　　　　　　　　　倍数かどうかを調べればよい。

２１ の倍数の判定　：　２１＝３×７　で、３と７は互いに素であることから、３の倍数かつ７の
　　　　　　　　　　　　　倍数かどうかを調べればよい。

２２ の倍数の判定　：　２２＝２×１１　で、２と１１は互いに素であることから、２の倍数かつ
　　　　　　　　　　　　　１１の倍数かどうかを調べればよい。

２３ の倍数の判定　：　Ｎ ＝ ａ×１０＋ｂ　において、ａ＋７ｂ＝２３ｎ　（ｎ は整数）のとき、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ＝（−７ｂ＋２３ｎ）×１０＋ｂ
　　　　　　　　　　　　　　 ＝−６９ｂ＋２３０ｎ＝２３×（−３ｂ＋１０ｎ）
　　　　　　　　　　　　　より、Ｎは、２３の倍数となる。

　　　　　（コメント）　この判定法は、果たして実戦的なのだろうか？


　　　　　　　　　攻略法さんから、次のような判定法があることをご教示いただいた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２３年７月６日付け）

　　　　　　　末位から２桁ごとに区切った数 A₀、A₁、・・・、A_m について、元の数

　　　　　　　　　　　N＝A_m・１０^2m＋・・・＋A₁・１０²＋A₀

　　　　　が２３の倍数であるための必要十分条件は、

　　　　　　　　　　　A_m＋・・・＋A₁・３^ｍ-1＋３^m・A₀≡０　 (ｍｏｄ　２３)

　　　　　（証明）　３^m・N＝３^m・A_m・１０^2m＋・・・＋３^m・A₁・１０²＋３^m・A₀

　　　　　　　　 　　　　　 ＝３００^m・A_m＋・・・＋３００・A₁・３^ｍ-1＋３^m・A₀

　　 　　　　　　ここで、　３００≡１　 (ｍｏｄ　２３)　なので、

　　　　　　　　　　　３^m・N≡A_m＋・・・＋A₁・３^ｍ-1＋３^m・A₀　 (ｍｏｄ　２３)

　　　　　　　　　３^m は、２３で割り切れないので、

　　　　　　　　　　　A_m＋・・・＋A₁・３^ｍ-1＋３^m・A₀≡０　 (ｍｏｄ　２３)

　　　　　　　　　であることが必要十分である。　　（証終）

　　　　　例　1182936の場合

　　　　　　　1+18*3+29*3²+36*3³＝1288＝23*56 とするか、

　　　　　　　繰り返して、　12+88*3=276
　　　　　　　　　　　　　　　 2+76*3=230


２４ の倍数の判定　：　２４＝３×８　で、３と８は互いに素であることから、３の倍数かつ８の
　　　　　　　　　　　　　倍数かどうかを調べればよい。

３７ の倍数の判定
　　　　　　　　　　　　　　末位から３桁ごとに区切った数　Ａ₀、Ａ₁、・・・、Ａ_ｍ　について、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ＝ Ａ_ｍ×１０^3m＋・・・＋Ａ₁×１０³＋Ａ₀　と書ける。
　　　　　　　　　　　　　　１０^3ｎ≡１　（ｍｏｄ　３７）なので、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ≡Ａ₀＋Ａ₁＋Ａ₂＋・・・　　（ｍｏｄ　３７）
　　　　　　　　　　　　　よって、Ｎ が３７の倍数となるためには、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ₀＋Ａ₁＋Ａ₂＋・・・≡ ０　　（ｍｏｄ　３７）
　　　　　　　　　　　　　であることが必要十分である。

　　　　　例　８桁の数　４２６７４１３５　は３７の倍数か？

　　　　　　　　４２＋６７４＋１３５＝８５１＝３７×２３　なので、３７の倍数である。

９９９ の倍数の判定
　　　　　　　　　　　　　　末位から３桁ごとに区切った数　Ａ₀、Ａ₁、・・・、Ａ_ｍ　について、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ＝ Ａ_ｍ×１０^3m＋・・・＋Ａ₁×１０³＋Ａ₀　と書ける。
　　　　　　　　　　　　　　１０^3ｎ≡１　（ｍｏｄ　９９９）なので、
　　　　　　　　　　　　　Ｎ ≡Ａ₀＋Ａ₁＋Ａ₂＋・・・　　（ｍｏｄ　９９９）
　　　　　　　　　　　　　よって、Ｎ が９９９の倍数となるためには、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ₀＋Ａ₁＋Ａ₂＋・・・≡ ０　　（ｍｏｄ　９９９）
　　　　　　　　　　　　　であることが必要十分である。

例　（参考→「虫食い算４」）


　攻略法さんが、倍数の判定について、一般化を試みられた。（平成２３年８月２４日付け）

　Ｎ ＝ ａ×１０＋ｂ　において、

　　ａ−５ｂ＝１７ｎ　（ｎ は整数）のとき、Ｎは、１７の倍数

　　ａ＋７ｂ＝２３ｎ　（ｎ は整数）のとき、Ｎは、２３の倍数

と判定することができた。

　このことの一般化を考えてみた。

　Ａ＝ａＢ＋ｂ　とおいて、gcd(ｄ，ｍ)＝１　で、ｄａ干ｃｂ＝ｍｎ　（ｎは整数）のとき、

　　ｄＡ＝ｄ（ａＢ＋ｂ）＝(±ｃｂ＋ｍｎ)Ｂ＋ｄｂ＝±(ｃＢ±ｄ)ｂ＋ｍｎＢ

において、 ｃＢ±ｄ　が ｍ の倍数なら、Ａは、ｍ の倍数となる。


　Ｂ＝１０ なら、Ａは、十の位以上の ａ と一の位の ｂ とに切り離される。

いくつか例をみていこう。

（１）　３、９の倍数の場合（※既出）

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(１，３)＝１、gcd(１，９)＝１　より、　ｍ＝３、９　に対する ｄの候補として、　ｄ＝１

　　　ｄ＝１ で、ｃ＝１ とすると、　ｃＢ−ｄ＝１・１０−１＝９　は、３または９の倍数

　　よって、　ｄａ＋ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）＋１・ｚ　が、３または９の倍数のとき、Ａは、３または９の

　倍数となる。このことを繰り返して、

　　ｘ＋・・・＋ｙ＋ｚ　が、３または９の倍数のとき、Ａは、３または９の倍数となる。

（２）　６、１２の倍数の場合、２の倍数かどうか、４の倍数かどうかは下１桁、下２桁を見て
　　瞬時に判断できるので、後は、３の倍数かどうかを見ればよい。

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(２，３)＝１　より、　ｄ＝２　で、さらに、ｃ＝１　とすると、

　　　ｃＢ＋ｄ＝１・１０＋２＝１２　が、３の倍数より、

　　　ｄａ−ｃｂ＝２・（ｘ・・・ｙ）−１・ｚ　が、３の倍数のとき、Ａは、３の倍数となる。

例　1815726　の場合

　　　1815726　は明らかに、２の倍数である。

　　　2・181572-6=363138　繰り返して、　2・36313-8=72618　、2・7261-8=14514

　　　2・1451-4=2898　、2・289-8=570　、2・57-0=114　、2・11-4=18　これは、３の倍数

　　　　よって、２かつ３の倍数であることから、６の倍数となる。

（３）　７の倍数の場合（※既出）

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(１，７)＝１　より、　ｄ＝１　で、さらに、ｃ＝２　とすると、

　　　ｃＢ＋ｄ＝２・１０＋１＝２１　が、７の倍数より、

　　　ｄａ−ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）−２ｚ　が、７の倍数のとき、Ａは、７の倍数となる。

例　17283　の場合

　　　1728-2・3=1722　　繰り返して、　172-2・2=168　、16-2・8=0　　よって、７の倍数

（４）　１１の倍数（※既出）

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(１，１１)＝１　より、　ｄ＝１　で、さらに、ｃ＝１　とすると、

　　　ｃＢ＋ｄ＝１・１０＋１　が、１１の倍数より、

　　　ｄａ−ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）−１・ｚ　が、１１の倍数のとき、Ａは、１１の倍数となる。


　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚｗ＝（ｘ・・・ｙ）・１００＋ｚｗ

　　　gcd(１，１１)＝１　より、　ｄ＝１　で、さらに、ｃ＝１　とすると、

　　　ｃＢ−ｄ＝１・１００−１＝９９　が、１１の倍数より、

　　　ｄａ＋ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）＋１・ｚｗ　が、１１の倍数のとき、Ａは、１１の倍数となる。

例　674135　の場合

　　　6741+35=6776　　繰り返して、　67+76=143　、1+43=44　　よって、１１の倍数

（５）　１３の倍数

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(１，１３)＝１　より、　ｄ＝１　で、さらに、ｃ＝４　とすると、

　　　ｃＢ−ｄ＝４・１０−１＝３９　が、１３の倍数より、

　　　ｄａ＋ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）＋４ｚ　が、１３の倍数のとき、Ａは、１３の倍数となる。

例　3198　の場合

　　　319+4・8=351　　繰り返して、　35+4・1=39　　よって、１３の倍数

（６）　１７の倍数

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(１，１７)＝１　より、　ｄ＝１　で、さらに、ｃ＝５　とすると、

　　　ｃＢ＋ｄ＝５・１０＋１＝５１　が、１７の倍数より、

　　　ｄａ−ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）−５ｚ　が、１７の倍数のとき、Ａは、１７の倍数となる。

例　674135　の場合

　　　67413-5・5＝67388　　繰り返して、　6738-5・8=6698　、669-5・8=629　、62-5・9=17

　　　よって、１３の倍数

（７）　１９の倍数

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(１，１９)＝１　より、　ｄ＝１　で、さらに、ｃ＝２　とすると、

　　　ｃＢ−ｄ＝２・１０−１＝１９　が、１９の倍数より、

　　　ｄａ＋ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）＋２ｚ　が、１９の倍数のとき、Ａは、１９の倍数となる。

例　4674　の場合

　　　467+2・4＝475　　繰り返して、　47+2・5=57　、5+2・7=19　　よって、１９の倍数

（８）　２３の倍数

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(１，２３)＝１　より、　ｄ＝１　で、さらに、ｃ＝７　とすると、

　　　ｃＢ−ｄ＝７・１０−１＝６９　が、２３の倍数より、

　　　ｄａ＋ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）＋７ｚ　が、２３の倍数のとき、Ａは、２３の倍数となる。

例　1182936の場合

　　　118293+7・6=118335　　繰り返して、　11833+7・5=11868　、1186+7・8=1242

　　　124+7・2=138　、13+7・8=69　　よって、２３の倍数

（９）　２９の倍数

　　　Ａ＝ｘ・・・ｙｚ＝（ｘ・・・ｙ）・１０＋ｚ

　　　gcd(１，２９)＝１　より、　ｄ＝１　で、さらに、ｃ＝３　とすると、

　　　ｃＢ−ｄ＝３・１０−１＝２９　が、２９の倍数より、

　　　ｄａ＋ｃｂ＝１・（ｘ・・・ｙ）＋３ｚ　が、２９の倍数のとき、Ａは、２９の倍数となる。

例　71543　の場合

　　　7154+3・3=7163　　繰り返して、　716+3・3=725　、72+3・5=87

　　　8+3・7=29　　よって、２９の倍数

（コメント）　統一的に倍数を判定できる方法で、感動しました！攻略法さんに感謝します。