単位分数の和　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　２以上の全ての自然数 Ｎ について、等式

　　　　　

を満たす自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚ が存在するかどうかは、まだ未解決の問題らしい。

　ものの本によると、１億より小さいＮの値に対しては、自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚ は必ず存在する
ことが知られている。

　「２以上の全ての自然数 Ｎ について、等式を満たす自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚ は存在するだろう」
というのが、エルデスとシュトラウスの予想である。

　比較的小さいＮの値に対して自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚ の値を見つけることは、小学校程度の適
度な計算練習と言える。ただ、その計算方法は、日本の学校教育で与えられるものとは
違い、どちらかというと欧米的である。

　自分自身の脳の活性化のために、出来るところまで表を完成させようという気になった。
興味ある読者の方もご一緒にいかがだろうか？

　上記の表を埋めていく過程で、Ｎが偶数ならば、必ず等式を満たす自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚ の値
が見つけられることに気がつく。しかし、Ｎが奇数のときは、とても不規則だ。Ｎの素因数分
解と密接に結ぶついていて、自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚ の値が見つけられるかどうか、確信が持てな
い。エルデスとシュトラウスの予想を証明するには、Ｎが奇数のときを考えればよい。

　以下では、Ｎが奇数の場合のみを考えることにする。

　とうとう１００まで達成！日本１００名山とか、１００という数字は縁起がいいので、手計算
による方法はここで打ち切りにすることにしよう。

　上記の表からも分かるように、Ｎの値が素因数分解されるときは比較的平易に自然数 Ｘ、
Ｙ、Ｚ の値が見つけられる。それに対して、Ｎが素数のときは、意外に手強い。

　表では、解が一つしか示されていないが、もちろん、解は一つには定まらない。

例えば、次のような別解もある。

　当ＨＰがいつもお世話になっている「らすかる」さんが１０００までの素数について調べられ
た。（平成１７年１１月１９日付け）

　それをまとめたものが下表である。らすかるさんに感謝します。

　平成１７年１１月１９日１２時１１分現在、らすかるさんは、 最終的なプログラムで、今１億
までを確認しているそうである。今のペースで行けば、３時間後ぐらいには１億までの確認
が終わるとのことで、らすかるさんからの新しい知らせが今から楽しみである。

　（実際には、５時間半かかったそうです！らすかるさん、お疲れ様でした！！）

　らすかるさんが作られたプログラムでは、10億とかでも一瞬で解が出るそうである。
例えば、こんな感じになるらしい。

4/1000000007＝1/250000002＋1/250000003750000015
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋1/62500001875000021312500108750000210

4/1000000009＝1/250000003＋1/83333335083333346
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋1/1893939473484849812500010340909122

4/1000000021＝1/250000006＋1/83333337083333376
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋1/10416667604166698343750476250002688

4/1000000033＝1/250000010＋1/35714288321428620
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋1/892857273214292865178746107144460

4/1000000087＝1/250000022＋1/250000043750001915
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋1/62500021875002871312667518753665310

4/1000000093＝1/250000024＋1/83333349083334078
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋1/10416670604167224843785169750831048

4/1000000097＝1/250000025＋1/83333349750000810
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋1/4166668308333575954182607250392850


　ところで、らすかるさんは、いろいろ試行錯誤している間に、次のような面白い事実に気
付かれたとのことである。

　まず、Ｎが合成数については、素因数の場合の分母を定数倍すれば良い。

たとえば、　４/３＝１/２＋１/２＋１/３　　より、　４/１５＝１/１０＋１/１０＋１/１５

一般には、素数 ｐ に対して、　４/ｐ＝１/ｘ＋１/ｙ＋１/ｚ のとき

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４/Ｎ＝４/ｎｐ＝１/ｎｘ＋１/ｎｙ＋１/ｎｚ

となるので、素数の場合のみを調べればよいが、４ｎ＋３型の素数については、実は次の
ような恒等式が成り立ち、等式を満たす自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚ は必ず存在する。

　　　　　

　　　　　

　また、同様に、４ｎ＋１型の素数のうち、８ｍ＋５型の素数については

　　　　　

８ｍ＋１型の素数のうち、２４ｋ＋１７型の素数については

　　　　　

が成り立つので、等式を満たす自然数 Ｘ、Ｙ、Ｚ は必ず存在する。

　結局は、２４ｋ＋１型の素数のみを調べれば十分ということになる。

（因みに、１００未満の２４ｋ＋１型の素数は、実は、７３と９７のみであり、この２つについて
のみ調べて、後の数は上記の恒等式を用いればよかったということになる。）

　ところで、この問題は、Ｍａｔｈｗｏｒｌｄ の Ｕｎｓｏｌｖｅｄ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ の中で詳しく述べられて
いるそうである。１億どころか、１０¹⁴＝100兆まで予想の成り立つことが既に確かめられて
いるとか．．．。

　エルデスとシュトラウスの予想が１０¹⁴＝100兆まで成り立つことは、Ｓｗｅｔｔ（１９９９）に
よる。

　参考文献が２０年前のもので、らすかるさんにはご迷惑をおかけしました！

　Ｓｗｅｔｔ の「The Erdos-Strauss Conjecture」の冒頭にある恒等式

　　　　

もスゴイですね！どうしたらこんな恒等式が見つけられるのでしょうか？

　こんな風に、２４ｋ＋１型の素数についても恒等式が見つかるといいですネ。


（参考文献：　吉永良正　著　　数学のセンス　　（ダイヤモンド社））