合同数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰの「お茶の時間−クイズ＆パズル」の中の「素朴な長さの計算」に関連して、当ＨＰ
がいつもお世話になっているＳ（Ｈ）さんが、平成２１年６月１０日〜１１日付けで、「合同数」
の話題に触れられている。

　合同数 ｎ とは、下図において、有理数　ａ 、 ｂ 、 ｃ　に対して、

　　　　　ａ²＋ｂ²＝ｃ²　　、　　ａｂ/２＝ｎ

　　　となるような自然数 ｎ のことを言う。





　すなわち、有理数を３辺の長さとする直角三角形の面積が自然数になる場合を言う。

　直ぐに思いつく合同数は、「６」だろう。

　「３、４、５」という有名なピタゴラス数で得られる直角三角形の面積がちょうど、６ である。

　「６」以外に、１０００までのうち合同数は、３６１個あるという。（結構あるんですね！）

　これらを、次のように書き並べると、その特徴が分かるかな？

　ただ、この表から、合同数の分布を類推することは危険である。

なぜなら、　８で割って２余る自然数「３４」は、合同数　だからである。

　実際に、　ａ＝２４　、ｂ＝１７/６　、ｃ＝１４５/６　について、

　　　　ａ²＋ｂ²＝５７６＋２８９/３６＝２１０２５/３６＝（１４５/６）²＝ｃ²

　が成り立ち、　ｎ＝ａｂ/２＝３４　であるので、３４は合同数である。

　面積が「５」になる場合として、　（ ａ ， ｂ ， ｃ ）＝（ ３/２ ， ２０/３ ， ４１/６ ）　が知られて
いる。

　また、（ ａ ， ｂ ， ｃ ）＝（ ３ ， ４ ， ５ ）　以外に面積が「６」になる場合として、

　　　　（ ａ ， ｂ ， ｃ ）＝（ ７/１０ ， １２０/７ ， １２０１/７０ ）

もあるらしい。計算すれば確かに当てはまるが、理論的裏付けなしに、このような数を発見
することは難しいような．．．予感。

　同様に、面積が「７」になる場合として、

　　　　（ ａ ， ｂ ， ｃ ）＝（ ３５/１２ ， ２４/５ ， ３３７/６０ ）

も然り。

　残念ながら、「１」は、合同数にはならない。このことは、フェルマーが無限降下法を用い
て証明しているそうだ。

　この合同数の問題は、楕円曲線の理論とも関係があるらしい。

　有理数　ａ 、 ｂ 、 ｃ　に対して、　ａ²＋ｂ²＝ｃ²　、　ａｂ/２＝ｎ　となるような自然数

ｎ が存在するとき、　ｘ＝ａ（ａ＋ｃ）/２　、ｙ＝ａ²（ａ＋ｃ）/２　とおくと、

点（ ｘ ， ｙ ）　（ｙ≠０）　は、楕円曲線　ｙ²＝ｘ³−ｎ²ｘ　上の点である。

　実際に、　ｘ³−ｎ²ｘ＝ａ³（ａ＋ｃ）³/８−ａ³ｂ²（ａ＋ｃ）/８

　　　　　　　　　　　　 ＝ａ³（ａ＋ｃ）/８・｛（ａ＋ｃ）²−ｂ²｝

　　　　　　　　　　　　 ＝ａ³（ａ＋ｃ）/８・｛（ａ＋ｃ）²−ｃ²＋ａ²｝

　　　　　　　　　　　　 ＝ａ⁴（ａ＋ｃ）²/４

　　　　　　　　　　　　 ＝ｙ²
である。逆に、

　点（ ｘ ， ｙ ）を、楕円曲線　ｙ²＝ｘ³−ｎ²ｘ　上の有理点で、　ｙ≠０　とすると、

　　　　　ａ＝ｙ/ｘ　、　ｂ＝２ｎｘ/ｙ　、　ｃ＝（ｘ²＋ｎ²）/ｙ

は、関係式　ａ²＋ｂ²＝ｃ²　、　ａｂ/２＝ｎ　を満たし、ｎ は、合同数となる。

　「１」が合同数でないことは、次の事実から明らかである。

　　左図において、楕円曲線　ｙ²＝ｘ³−ｘ　の有理

　点は、

　　　（ ０ ， ０ ）　、（ １ ， ０ ）　、（ −１ ， ０ ）

　の３点しかない。

　　ｙ≠０　なる有理点が存在しないので、１は合同

　数にはなり得ない。

　　楕円曲線の一般形は、

　ｙ²＝ｘ³＋ａｘ＋ｂ　　（ただし、　４ａ³＋２７ｂ²≠０）

で与えられる。数学の世界では、直線や２次曲線

の次に基本的な曲線として知られる。






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