自然対数の底 ｅ が無理数であること　　　　　　　　

自然対数の底 ｅ（Ｎａｐｉｅｒ の数）は、

により定義される。

高校では、

で定義されることが多いが、前者の級数は非常に速く収束

するので、ｅ の値を計算するのに便利である。２項定理を用いて、容易に

　　　　　　　　　　　　　　　　
であることが示される。

が収束する速さは、次のような不等式を用いて評価される。

とおくとき、

よって、

・・・・・　(*)　　が成り立つ。

　ｅ ＝２．７１８２８１８２８４５９０４５２３５３・・・・・　に対して、

　　　　ｓ₁₀＝２．７１８２８１・・・・・

　　　　

であることを考えれば、収束の速さは明らかである。

　ｓ_ｎ の収束が非常に速いので、電卓を用いて計算してみようという気になる方もおられよう。

たとえば、ｓ₁₀ の計算は、広島工業大学の大川研究室によれば、

　　［・・・{｛（１/１０＋１）/９＋１｝/８＋１}・・・］/１＋１

と考え、前から順番にキーを叩けば、紙にメモすることなく計算できるとのことだ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（→参考：「面白い電卓の使い方」）

　また、評価式 (*) を用いると、ｅ が無理数であることが容易に示される。

　今、ｅ が有理数と仮定すると、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

と書ける。ただし、ｐ 、 ｑ は、互いに素な正の整数である。

　このとき、 (*) より、
　　　　　　　　　　　　　　

なので、
　　　　　　　　

　ここで、　ｑ！ｅ　および　ｑ！ｓ_ｑ　はともに整数なので、　ｑ≧１　より、０ と １ の間に整数

が存在することになり、これは矛盾である。よって、 ｅ は無理数である。


（参考文献 ： Ｗａｌｔｅｒ Ｒｕｄｉｎ　著　Principleｓ ｏｆ Mathematical Analysis　（McGRAWHILL））