自然対数の底                        戻る

 自然対数の底 e(Napier の数)は、  により定義される。
高校では、  で定義されることが多いが、前者の級数は非常に速く収束する

ので、e の値を計算するのに便利である。2項定理を用いて、容易に

                
であることが示される。

   が収束する速さは、次のような不等式を用いて評価される。
    とおくとき、

    

        

 よって、     ・・・・・ (*)  が成り立つ。

 e =2.7182818284590452353・・・・・ に対して、

    s10=2.718281・・・・・

    

であることを考えれば、収束の速さは明らかである。

 s の収束が非常に速いので、電卓を用いて計算してみようという気になる方もおられよう。

たとえば、s10 の計算は、広島工業大学の大川研究室によれば、

  [・・・{{(1/10+1)/9+1}/8+1}・・・]/1+1

と考え、前から順番にキーを叩けば、紙にメモすることなく計算できるとのことだ。
                                 (→参考:「面白い電卓の使い方」)

 また、評価式 (*) を用いると、e が無理数であることが容易に示される。

 今、e が有理数と仮定すると、
                     

と書ける。ただし、p 、 q は、互いに素な正の整数である。

 このとき、 (*) より、
              

なので、
        

 ここで、 q!e および q!s はともに整数なので、 q≧1 より、0 と 1 の間に整数

が存在することになり、これは矛盾である。よって、 e は無理数である。


(参考文献 : Walter Rudin 著 Principles of Mathematical Analysis (McGRAWHILL))


(追記) 平成28年6月4日付け

 e の近似分数として、19/7、193/71、2721/1001などが知られている。

 実際に、 19/7=2.71428・・・

     193/71=2.718309・・・

  2721/1001=2.718281718・・・

 また、e については、次のモローの不等式

 e/(2n+2)<e−(1+1/n)<e/(2n+1)  ただし、nは正の整数

が知られている。次のように式変形されることも多い。

 {2n/(2n+1)}e<(1+1/n)<{(2n+1)/(2n+2)}e


 高校生でも十分解きうる問題として、数学検定(1級レベルかな?)や大学入試などで、こ
の不等式を題材とする問題が出題されている。

 古くは、次の学習院大学 理学部(1989)の問題が有名だろう。

学習院大学 理学部(1989)

 次の不等式が成り立つことを証明せよ。ただし、eは自然対数の底である。

(1) x>0 のとき、 (1/x)log(1+x)>1+log(2/(x+2))

(2) nが正の整数のとき、 e−(1+1/n)<e/(2n+1)


(解)(1) x>0 なので、 log(1+x)>x(1+log(2/(x+2))) を示せばよい。

  F(x)=log(1+x)−x(1+log(2/(x+2))) とおくと、

 F’(x)=1/(x+1)−(1+log(2/(x+2)))+x/(x+2)

 F”(x)=−1/(x+1)2+1/(x+2)+2/(x+2)2=x(x2+5x+5)/(x+1)2(x+2)2

  よって、F”(x)>0 より、F’(x)は単調増加で、 F’(0)=1−1+0=0 より、

 x>0 のとき、 F’(x)>0 で、F(x)は単調増加

 F(0)=0−0=0 なので、 x>0 のとき、 F(x)>0

 したがって、 log(1+x)>x(1+log(2/(x+2))) より、

   (1/x)log(1+x)>1+log(2/(x+2))

が成り立つ。

(2) (1)で、x=1/n(>0) とおくと、 nlog(1+1/n)>1+log(2n/(2n+1))

  すなわち、 log(1+1/n)>loge(2n/(2n+1)) より、

   (1+1/n)>e(1−1/(2n+1)) より、 e−(1+1/n)<e/(2n+1)  (終)


 学習院大学の問題で、モローの不等式の右辺は示されたので、左辺を示すのも同様に出
来る。

 e/(2n+2)<e−(1+1/n) より、 (1+1/n)<e(2n+1)/(2n+2) の両辺の対

数をとって、nlog(1+1/n)<1+log(2n+1)/(2n+2) となるので、n=1/x とおいて

  (1/x)log(1+x)<1+log((x+2)/(2x+2)) (x>0)

 そこで、 G(x)=log(1+x)−x(1+log((x+2)/(2x+2))) とおくと、

 G’(x)=1/(x+1)−(1+log((x+2)/(2x+2)))−x(1/(x+2)−1/(x+1))

     =−log((x+2)/(2x+2)))−x/(x+2)

 G”(x)=−1/(x+2)+1/(x+1)−2/(x+2)2=−x/((x+1)(x+2)2)<0

 よって、G’(x)は単調減少で、G’(0)=0 より、 x>0 のとき、 G’(x)<0

 このとき、G(x)は単調減少で、G(0)=0 より、 x>0 のとき、 G(x)<0

 したがって、 (1/x)log(1+x)<1+log((x+2)/(2x+2)) が成り立ち、

 x=1/n(>0) とおくと、 nlog(1+1/n)<1+log(2n+1)/(2n+2)

 すなわち、 (1+1/n)<e(2n+1)/(2n+2) より、

  e/(2n+2)<e−(1+1/n)

が成り立つ。


 高知県土佐高校の藤岡優太先生が数研通信No.85で、モローの不等式をスッキリ証明
されている。それを参考にしながら、モローの不等式の図形的意味を考えてみよう。

 モローの不等式 e/(2n+2)<e−(1+1/n)<e/(2n+1) から示される不等式

  {2n/(2n+1)}e<(1+1/n)<{(2n+1)/(2n+2)}e

の両辺の対数をとって式変形すると、

 log(n(n+1))−log(n+1/2)<(n+1)log(n+1)−nlogn−1<log(n+1/2)

となる。ここで、

 ∫n+1 log x dx=(n+1)log(n+1)−nlogn−1

より、S=(n+1)log(n+1)−nlogn−1は、y=log x とx=n、x=n+1、x軸で囲まれた
面積となっている。

 さらに、点(n,logn)と点(n+1,log(n+1))を結ぶ線分とx=n、x=n+1、x軸で囲まれ
た台形の面積Tは、

 T=(logn+log(n+1))/2=(1/2)logn(n+1)

で与えられる。

 さらに、y=log(n+1/2)とx=n、x=n+1、x軸で囲まれた長方形の面積Uは、

 U=log(n+1/2)

で与えられる。

 このとき、モローの不等式の図形的意味が明らかとなる。すなわち、

   2T−U<S<U

が成り立つ。


(コメント) SとUの関係は微妙な雰囲気なのですが、モローの不等式から、確実に、S<U
      と言えるわけですね。直感的には、y=log x が上に凸の曲線で勾配がだんだん
      緩やかになっていることを考えれば、S<Uであることは予想されますが...。



  以下、工事中!