メビウスの帯                          戻る

 世間で一風変わった曲面と認識されているうちで、有名なものは、メビウスの帯であろう。
裏表がない曲面として、時にテレビドラマや推理小説にも登場する。

        メビウスの帯

 Mebiusシリーズのパソコンを使っているときは、メビウスの帯の何ともいえない雰囲気が
好きで、壁紙として上記画像のようなものを設定し、愛用していた。

 このページでは、メビウスの帯のいろいろをまとめてみよう。

(1) メビウスの帯の書き方

            

  手元にある文献によれば、上の2種類の何れかであることが多い。私個人的には左側
 の方が好きであるが、「ねじれてる!」という感じを出すには、右図の方がいいかな?
 (私の大学の幾何学の恩師は、右図のように書かれていたように思う。)

(2) メビウスの帯の作り方

   左図の長方形において、左側の青矢印を固定して、
  右側の青矢印をねじって左側の矢印の向きと同じに
  貼りあわせればよい。
   したがって、そのねじらせ方によって、2種類のメビ
  ウスの帯が出来る。


(3) メビウスの帯を切る
  (イ) 中心線に沿って、1回切る場合・・・・・2回ねじれた1本の輪になる。

 →   

  (ロ) (イ)で出来た輪の中心線に沿って、1回切る場合
        ・・・・・互いに絡み合う2つの輪に分かれる。

    (イ)で出来た輪の構成から分かるように、(イ)の帯は、基本的に円筒と同じである。
   したがって、その中心線に沿って切れば、2つの輪に分かれることは、容易に理解で
   きる。

  (ハ) メビウスの帯を3等分に切る場合
        ・・・・・メビウスの帯1本と2回ねじれた帯が絡み合う。

     3等分とはいえ、実際にハサミを入れるのは、1回である。帯の幅の1/3のところで
    ハサミを入れればよい。

(参考文献:浜島 敬 著 図形はふしぎ メービウスの帯からクラインの壺へ)


(追記) メビウスの帯は空間でねじれているので、その方程式がどうなるのか不思議で
     あったが、最近、メビウスの帯のパラメーター表示について知る機会があった。

(4) メビウスの帯のパラメーター表示

  

 上記方程式を具現化すれば、下図のようになる。(このような図は、あまりWeb上で見か
けない。)

       

 上図から、方程式の成り立ちが了解されることと思う。 0≦ θ ≦2 π の範囲で、θ が
変化するとともに、青い棒(幅が、2b )が鉛直方向に対して、θ/2 の角度で傾いていく。

 棒の変化の様子を残像として見ていくと、メビウスの帯が描かれる。