いろいろな平均　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　テストが返されると、生徒たちは友人たちと点数の合計点で競い合い、一喜一憂する。対
して、教える側は、クラスによって人数が違うので、クラスの平均点を計算して、これまでの
指導の成果について自己評価する。
　もちろん、平均点だけでは母集団の特徴がつかめないので標準偏差や分布の状態も参
考にする。表計算ソフトのおかげで、それらの計算が一瞬のうちにできてしまうので大いに
助かっている。
　世の中で、平均といえば算術平均をいうが、平均には他にも幾何平均とか調和平均など
があり、それぞれ用途が異なる。

算術平均・・・　２数 ａ、ｂ に対して、

（相加平均ともいわれる。）

		算術平均は、左図からも分かるように、でこぼこ 　のものをならす働きがある。 　　２数 ａ、ｂ に対して、その算術平均は次のように 　作図して、幾何的に求めることができる。

　幾何平均・・・　２つの正数 ａ、ｂ に対して、　（相乗平均ともいわれる。）

　　算術平均は、和　ａ＋ｂ　の値が、ある数を２回足したものになるときのある数のことをい
　う。数直線上で考えれば、２点Ｐ（ａ）、Ｑ（ｂ）の中点の座標という性格を持っている。
　　これに対して、幾何平均は、積　ａｂ　の値が、ある数を２回掛けたものになるときのある
　数のことをいう。
　　たとえば、普通の辛さのカレーに対して、カレーＡは２倍辛く、カレーＢは８倍辛いとする。
　この辛さの平均を考えるとき、Ｋ×Ｋ＝２×８　より、Ｋ＝４　となり、平均の辛さは４倍とな
　る。
　（しかし、これには異論があるかもしれない。推測であるが、２倍辛いとは、普通より２倍唐
　辛子が多く入っている、８倍辛いとは、普通より８倍唐辛子が多く入っているとすると、２つ
　を平均するということは、唐辛子の量が５倍ということで、５倍辛いカレーができてしまうと
　思うのだが、間違っているだろうか？カレーに詳しい方、是非お教えください！！）

　　２数 ａ、ｂ に対して、その幾何平均も簡単に作図することができる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（参考：作図問題における円の役割）

調和平均・・・　２数 ａ、ｂ に対して、逆数の算術平均の逆数

　　調和平均の例としては、次が有名である。

　「行きが時速４ｋｍ、帰りが時速６ｋｍで歩いたとき、平均の速さはいくらか？」

　なんとなく、時速５ｋｍと答えがちであるが、実際は、時速４．８ｋｍ　である。
　（速さ）×（時間）＝（距離）の公式を用いて計算すると、自然と調和平均の計算公式に導
　かれる。
　　２数 ａ、ｂ に対して、その調和平均の式から受けるイメージは複雑そうであるが、作図
　することは簡単である。下図のように作図すればよい。

左図において、△ABG∽△DCG　より、 　　　　　　AG：GD＝BG：GC＝ ａ ： ｂ 　　△AEG∽△ACD　より、GE＝ａｂ/（ａ＋ｂ） 　　△BFG∽△BDC　より、FG＝ａｂ/（ａ＋ｂ） 　　したがって、
EF＝		となり、ＥＦが調和平均を与える。

（参考文献：中村義作・阿邊恵一　著　代数を図形で解く（講談社ブルーバックス））

（追記）　幾何平均について、次のような性質があることを上記書籍により知った。原理は
　　　　単純であるが、とても興味深い事実である。

　　　　左図の長方形ＡＢＣＤにおいて、
　　　ＡＢ＝ａ、ＡＤ＝ｂ　とする。
　　　いま、２数ａ、ｂ　の幾何平均を一辺とする
　　　正方形ＢＥＦＧ（ＧはＡＤ上）を作図する。
　　　　このとき、長方形の１頂点Ｃは、この正
　　　方形の辺ＥＦ上にある。

　　　　証明は、左図をみれば明らかであろう。
　　（長方形から正方形への等積変形である。）