・いつ平方数?                          TKG氏

 4n3−4n+1 ・・・(*) が平方数になるのは、n=1、2、6の場合だけだと予想されます。
(このとき、(*)は連続する3整数の積に1加えた形となっています。)

 nが2000近くまで、Excel を用いて検証してみましたが、(*)が平方数となるようなnは他に
見つかっていません。

 しかし、この過程をどうにも上手く示せません。ぜひとも、お力添えをお願いします。


 らすかるさんからのコメントです。(平成29年12月4日付け)

 答えにはなっていませんが、とりあえず、n≦1000000000の範囲では、n=1、2、6だけで
した。

 やっとわかりました。4n3−4n+1 は奇数なので、4n3−4n+1=(2m−1)2 とおいて
整理すると、

  (n−1)n(n+1)=(m−1)m

 この式の値は、「A120436」によれば、0、6、210のみ。よって、元の問題の解は、
n=1、2、6のみ。


 TKGさんからのコメントです。(平成29年12月4日付け)

 らすかるさん、大変有意義なサイトのご紹介ありがとうございます。しかしながら、そのサイ
トでは、この問題をどのように解決しているのでしょう。プログラムでしょうか。ご教授お願い
致します。


 らすかるさんからのコメントです。(平成29年12月4日付け)

 このサイトには、「Mordellが示した」と書いてありますね。このサイトのリンクに、

  Louis J. Mordell, Diophantine Equations, Academic Press 1969, p. 257.

と書かれていますので、この本に証明が書かれているものと思います。

#「booktopia.com」で買えば、PDFがDLできるみたいなので、興味があればどうぞ。


 TKGさんからのコメントです。(平成29年12月4日付け)

 URLまで添付してくださり本当にありがとうございます。URLで無料で論文を読むことができ
ましたが、恥ずかしながら、ほとんど理解できませんでした。そこで、失礼を承知の上ではあ
りますが、もしよろしければ、解説をしていただけたらと思います。


 らすかるさんからのコメントです。(平成29年12月4日付け)

 私は英語が苦手なので辞退します。日本語であってもあまり読む気はないですが…。



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