・無限の中での調和                      GAI 氏

 次の無限級数の和を求む。

(A) 11/22+111/(22*2)+211/(22*2^2)+311/(22*2^3)+411/(22*2^4)+511/(22*2^5)+・・・

(B) 98/22+198/(22*3)+298/(22*3^2)+398/(22*3^3)+498/(22*3^4)+598/(22*3^5)+・・・


 らすかるさんからのコメントです。(平成29年11月3日付け)

 a>1 のとき、S=Σk=0~∞ k/a^kとすると、aS-S=Σk=0~∞ 1/a^k=a/(a-1) なので、

 S=a/(a-1)^2  よって、a=2 のとき、S=2 、a=3 のとき、S=3/4 となる。

 これを使って、

(A)=(11/22)Σk=0~∞ 1/2^k+(100/22)Σk=0~∞ k/2^k=(11/22)(2/1)+(100/22)(2/1^2)=111/11

(B)=(98/22)Σk=0~∞ 1/3^k+(100/22)Σk=0~∞ k/3^k=(98/22)(3/2)+(100/22)(3/4)=111/11


 GAI さんからのコメントです。(平成29年11月4日付け)

 上が等差、下が等比数列で面白い結果になるものを探しているとき、偶然この2つに出会
いました。

 上の公差は共に100で初項が異なり、下の初項は同じで公比が異なる組み合わせにピタリ
結果を一致させる(しかも結構美しい)ものが存在できることにちょっと感動しました。

 当然、公比を変えてもっと探したくなり、公比 r=4、5 と切り替えて探すも存在できぬ様子。
(自分が調べての範囲で判断)

 r=6で、

(C) 165/22+265/(22*6)+365/(22*6^2)+465/(22*6^3)+565/(22*6^4)+665/(22*6^5)+・・・=111/11

に出会えました。他に、

  49/11+249/(11*3^2)+449/(11*3^4)+649/(11*3^6)+849/(11*3^8)+・・・
= 11/22+211/(22*3) + 411/(22*3^2)+611/(22*3^3)+811/(22*3^4)+・・・
=333/44

  4/74+14/(74*4)+24/(74*4^2)+34/(74*4^3)+44/(74*4^4)+・・・
= 7/74+ 8/(74*4)+ 9/(74*4^2)+10/(74*4^3)+11/(74*4^4)+・・・
=44/333

などが興味を引きました。範囲を広げて探せば、まだ面白い組み合わせがたくさんありそう
です。


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