・広義積分の収束条件                     田中氏

 無限級数の第n項が∞の時に発散した場合、その無限級数は収束しないという定理があ
りますが、ある関数を n→∞ にしたときに発散した場合、その関数の広義積分(積分の範
囲は0~∞)も収束しないのでしょうか?よろしくお願いします。


 らすかるさんからのコメントです。(平成29年10月23日付け)

 「ある関数をn→∞にする」とはどういう意味ですか?例えば、「ある関数」として、f(x)=2 と
いう関数を考えると、n が出てこないので n→∞ が意味不明です。もしかして、limn→∞ f(n) が
発散という意味ですか?


 田中さんからのコメントです。(平成29年10月23日付け)

 limn→∞ f(n) が発散という意味で使いました。


 らすかるさんからのコメントです。(平成29年10月23日付け)

 例えば、 __/\_______/\_______/\_____ というような感じで山が順に細く高く

なっていく関数f(x)を考えます。

 x=1 の前後に幅 1/1^3、高さ1の山((1/2,0)-(1,1)-(3/2,0)と線が繋がる形)

 x=2 の前後に幅 1/2^3、高さ2の山((31/16,0)-(2,2)-(33/16,0)と線が繋がる形)

 x=3 の前後に幅 1/3^3、高さ3の山((161/54,0)-(3,3)-(163/54,0)と線が繋がる形)

  ・・・

 xk の前後に幅 1/k^3、高さ k の山(((2k4-1)/(2k3),0)-(k,k)-(2k4+1)/(2k3),0)と線が繋がる形)

  ・・・

※山のない部分はf(x)=0

 この関数では、f(n)=n ですから、limn→∞ f(n) は発散しますが、各山の面積は、

 x=1 の山は、 (1/2)(1/1^2)
 x=2 の山は、 (1/2)(1/2^2)
 x=3 の山は、 (1/2)(1/3^2)
  ・・・
 x=k の山は、 (1/2)(1/k^2)
  ・・・

ですから、∫0 f(x)=π2/12 となり収束します。

 従って、limn→∞ f(n) が発散しても、∫0f(x) が発散するとは限りません。


 田中さんからのコメントです。(平成29年10月24日付け)

 広義積分は、無限級数のように簡単に収束の必要条件をチェックしたりは出来ないんです
ね。らすかるさん、回答ありがとうございました。



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