・擬似ヘロン数                        GAI 氏

 3辺の長さが、3、4、5や5、12、13の三角形は、面積がそれぞれ6、30の直角三角形を形
成する。そこで条件を少しゆるめて、3辺が有理数で直角三角形をなし、その面積が整数
となれるものを探すものとする。(→ 参考:「ヘロン数とピタゴラス数」)

例 a=3/2、b=20/3、c=41/6 (a2+b2=c2) => S=5

 さて、面積Sが1〜30までの刻みの中で、このような形状の直角三角形が存在できるSとa、
b、cの組合せを見つけてほしい。

 また、敢て a、b、c を 3、4、5 以外の既約分数 a、b、c を用いて、S=6 を構成してほしい。

 同じく、5、12、13以外での a、b、c(有理数使用)で、S=30 を達成できるか?


 DD++さんからのコメントです。(平成29年5月21日付け)

 前半は合同数一覧を見ればいいとして、

 また、敢て a、b、c を 3、4、5 以外の既約分数 a、b、c を用いて、S=6 を構成してほしい。

 人力の暗算と勘で、 7/10、120/7、1201/70

 同じく、5、12、13以外での a、b、c(有理数使用)で、S=30 を達成できるか?

 119/26、1560/119、42961/3094
(斜辺の (134+1202)/(2*7*13*17) だけは私の暗算力じゃ無理でした……)


 GAI さんからのコメントです。(平成29年5月21日付け)

 眼力、直感力及び分析力お見事です。暗算に頼らなければ他に

S=6
a=4653/851、b=3404/1551、c=7776485/1319901
a=1437599/168140、b=2017680/1437599、c=2094350404801/241717895860
・・・・・・・・・・

S=30
a=415915/2739、b=32868/83183、c=34597174573/227838237
a=1444579679/265842668、b=15950560080/1444579679、
c=4726019094567147841/384030916003943572
・・・・・・・・・

といくつでも採れていきますね。さらに、これらの数値から、

 A=|a-b|/2 、B=c/2 、C=(a+b)/2

を組み上げていくと、

 S=6 a=4653/851、b=3404/1551、c=7776485/1319901 の場合

A = 4319999/2639802 、B = 7776485/2639802 、C = 10113607/2639802

となり、すると、A<B<Cで、B2-A2=C2-B2=S=6 など決して直感などでは到達できないピ
タゴラス的世界が広がっていきます。(他の組合せも同様)

楕円曲線にはあらゆる数論を取り込めるブラックホールのような奥深さがある!


 DD++さんからのコメントです。(平成29年5月21日付け)

 私の S=6 の解は、 (5/2)2-(1/2)2 = (7/2)2-(5/2)2 = 6 から、

a = (1/2)(7/2)/(5/2) = 7/10 、b = 2(5/2)6/{(1/2)(7/2)} = 120/7 、
c = {(5/2)4+62}/{(1/2)(5/2)(7/2)} = 1201/70

と構成したものです。これから、 GAI さんの式によると、

A = (120/7-7/10)/2 = 1151/140 、B = (1201/70)/2 = 1201/140 、
C = (120/7+7/10)/2 = 1249/140

として、 (1201/140)2-(1151/140)2 = (1249/140)2-(1201/140)2 = 6 という式が生まれます
ね。ということは、

a = (1151/140)(1249/140)/(1201/140) 、b = 2(1201/140)*6/{(1151/140)(1249/140)}
c = {(1201/140)4+62}/{(1151/140)(1201/140)(1249/140)}

とすると……という感じになります。暗算力が直感力についていけない感じですが。あれ、で
もこれ、

 a=4653/851 、b=3404/1551 、c=7776485/1319901

の解が飛びますね。この解どこから来たんだろう。


 等差数列と合同数と題して、DD++さんからのコメントです。(平成29年5月22日付け)

 A<B<C である3つの自然数について、A2、B2、C2 が公差 d の等差数列をなすとき、d
は120で割った余りが、0か24か96の合同数になります。

 これは、

・平方数を3で割った余りは0か1である
・平方数を5で割った余りは0か1か4である
・平方数を16で割った余りは0か1か4か9である
・直角を挟む2辺が AC/B と 2Bd/AC である直角三角形は斜辺が有理数で面積 d

であることからわかります。

 では逆に、d が120で割った余りが、0か24か96の合同数であるとき、A2、B2、C2 が公差
d の等差数列をなすような3つの自然数 A、B、C は必ず存在するでしょうか?

 24 は合同数で、12、52、72 は公差 24

 96 は合同数で、22、102、142 は公差 96

120 は合同数で、72、132、172 は公差 120

144 は合同数ではない

216 は合同数で、32、152、212 は公差 216

240 は合同数で、72、172、232 は公差 240

264 は合同数ではない

336 は合同数で、172、252、312 は公差 336

360 は合同数ではない

384 は合同数で、42、202、282 は公差 384

(・・・・・・・・・・・・・・この先どこまでも続くかどうか?)


 らすかるさんからのコメントです。(平成29年5月22日付け)

 カンニングしただけですが…。

 「A003273」によると、504は合同数ですが、504は「A256418」の中には含まれませんね。


 DD++さんからのコメントです。(平成29年5月22日付け)

 なるほど。 (47/2)2、(65/2)2、(79/2)2 と半整数の平方でなら作れますが、整数は無理な
のですね。となると必要十分条件としてはもう少し絞らないといけないわけですか。



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