・数学カレンダー                     よおすけ氏

 ある高校の3年1組の生徒30人と担任1人の合わせて31人が3月のカレンダーを作るこ
とになりました。担任の担当教科は数学ということもあり、これまでに習ってきたことの復習
も兼ねて、担任から、生徒に以下のことを言いました。

 各日は、すべて皆さんのつくった問題で埋めようと考えています。答えが、1、2、・・・、30、
31となるような問題を、1人1題つくって下さい。誰が何日を担当するかについては、皆さん
に任せます。

 3年1組の生徒および担任になったつもりで、答えが、1、2、・・・、30、31になる問題の
一例を作って下さい。

 出題範囲の上限は、高校の数学Vまでとします。下限は不問。


(コメント) カルピスさんから「問題数は無限大になるほど沢山できてしまうのでは・・・」とか
      らすかるさんからは「問題文に数字があれば数字を変えるだけで答えが変わり、一
      種類の適当な問題で全部終わってしまいますね。そこで問題の作成をもう少し面白
      くするために、例えば、「問題文に数字や漢数字を使ってはならない」という厳しい
      条件を付けるというのはどうでしょうか。例えば、「サイコロの目の合計はいくつか」
      「立方体の展開図は何通りあるか」など」という声も...。

       私もそう思いますが、ここでは、答えが自明でないそれなりの美しさを持つ問題
      を独断と偏見でリストアップしてみようと思います。壁にでも貼って鑑賞できるもの
      が出来るでしょうか?このような機会を与えていただいたよおすけさんに感謝しま
      す。

≪日めくり問題≫

4020 を 41 で割った余りを求めよ。
:赤球2個、青球2個を円形に並べる場合の数を求めよ。
:下図の黄色い部分の面積は如何?

   

:6個の同じものを、奇数個ずつのいくつかの同じ袋に分ける方法の数を求めよ。
:円周上の6個の点を互いに交差しない弦で結ぶ方法の数を求めよ。
:f(x)=x2−2 のとき、f(f(f(x)))=x の実数解で、f(x)=x の解ではないものの個数
  を求めよ。
:正八面体の8面の内、4面を赤、他の4面を青で塗り分ける方法の数を求めよ。
:半径1の円が直線上を滑らずに1回転するとき、円周上の点が描く弧の長さを求めよ。
:∫-332/(1+ex) dx を計算せよ。(DD++さん H29.4.13)
10:立方体を2色で塗り分ける方法の数を求めよ。
11:A〜I は、1〜9 の数で全て異なる。A+B=C、B+D=E、E×F=C、D×D=G
   のとき、H+I を求めよ。
12:正四角錐を2色で塗り分ける方法の数を求めよ。
13:全ての辺が整数で表される直方体を考えるときに、ある長さの線分は、辺の長さにも、
   面の対角線の長さにも、直方体の対角線の長さにも現れる可能性があるという。この
   ような線分のうち最も短いものの長さを求めよ。(DD++さん H29.4.13)
14:x−1/x=2 であるとき、x3−1/x3 はいくつになるか。(DD++さん H29.4.13)
15:下図のように、地面に柱が2本立っていて、そのうちの左側の柱には、1から5までの番
   号のつけられた円板が、上から番号順に積まれている。

円盤の移動  いま、1回の操作で、上から、1枚または2枚の円板
 を、他の柱へ移動させる。ただし、2枚のときは、上下
 の順番は、そのままとする。

 何回か操作をして、右側の柱に、円板が、上から順番
 に1から5まで並ぶようにしたい。
  一体、何回の操作でできるであろうか?




16:周囲の長さが16であるような長方形の面積の最大値を求めよ。
                                       (DD++さん H29.4.13)
  (類題)(1+i)8 を計算せよ。(よおすけさん H29.4.14)
17:素数p、qを用いて、pq+qp と表される素数を全て求めよ。
                                     (よおすけさん H29.3.29)
18:∠Cが直角である直角三角形ABCで、斜辺AB上に点D、E を取り(Dの方がAに近い)、
   辺AC上に点Fを取る。AD=DF=FE=EC=CB であるとき、∠BACは何度か。
                                       (DD++さん H29.4.13)
19:同じ大きさの不透明な立方体27個が3×3×3に積んである。これをカメラで撮影する
  とき、最大で何個の立方体を1枚の写真に収めることができるか。ただし、鏡などを使っ
  て間接的に写すのは認められない。(DD++さん H29.4.13)
20:四角形ABCDがあり、AD‖BC、∠ABC=∠BDC=∠ACB/2であり、直線BDは∠ABCの
  2等分線になっているという。このとき、∠ABCの大きさを求めよ。

  
21:十進法で記されたある数を、誤って別の底として読んでしまったところ、正しい値の丁度
   1/3になった。この数は何か。(DD++さん H29.4.13)
22:ハンバーグステーキ1枚を、フライパンを使って1面焼くのに、7分かかる。裏返して、も
  う1面焼くのに更に7分かかる。両面焼けたら、そのハンバーグステーキをパンにはさみ、
  オーブントースターで焼く。これが、1分かかる。(→ハンバーガーの完成)
   この手順で、ハンバーグステーキが2枚しかのせられないフライパン1つと、パンが2個
  しか入れられないオーブントースターを1台使って、ハンバーガーを3個作るのに最低何
  分かかるか。ただし、裏返す時間やパンにはさむ時間などは無視する。
23:格子点を2色で塗り分ける方法の数を求めよ。
24:赤球、青球、黄球の何れか4個を円形に並べる場合の数を求めよ。
25:10本の直線で作られる三角形の最大個数を求めよ。
26:参加料が、社会人200円、大学生150円、高校生100円のゲームに、社会人、大学
   生、高校生合わせて130名が参加した。参加料合計は、18900円で、社会人の参加
   者は大学生のそれより20名多かったという。このとき、大学生の参加者数を求めよ。
27:AB=9、BC=12の長方形ABCDの外側にCD、DAを1辺とする正三角形CED、
     DFAをそれぞれ描くとき、△DEFの面積を求めよ。
28:12の約数の総和を求めよ。
29:初項1、公比2、項数300の等比数列の中に、十進法で書くと先頭の数字が4であるもの
   はいくつあるか。ただし、2^299は91桁の数で、その先頭の数字は1であることを用いて
   よい。(DD++さん H29.4.13)
30:1辺4の正方形の縦、横が4等分され平行線が引かれているとき、正方形は大小合わ
   せていくつあるか?
  (類題)正六面体の各面に1から6までをそれぞれ埋めるやり方は何通りあるか。
                                        (ksさん H29.3.28)
31:Σk=1〜5k-1 を計算せよ。(よおすけさん H29.3.26)


(コメント) よおすけさん、DD++さんのご協力で、ようやく数学カレンダーが完成しました。
                                      (平成29年4月13日付け)



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