・不思議な関係                 S.H氏

 次の等式
         275+845+1105+1335=1445

は、1966年に発見されたものである。

 実際に確かめてみると、

275      
845  
1105
1335
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
1445

となり、成り立っている。(計算には、ExcelのVBAを利用)

 このような等式は、どのようなきっかけで発見されたのだろうか?


(追記) +y+・・・+z=N のような形の不定方程式は、フェルマーの問題の延長

    で昔から考えられてきたようである。(もちろん、文字は全て自然数とする。)

 中でも有名なものは、  3+y3+z3=N3  という形の方程式らしい。

  この解は、無数にあることが知られている。

 直ぐ思いつくものとしては、 ( x , y , z )=( 3 , 4 , 5 ) の場合で、このとき、N=6

である。(→ 参考:ピタゴラスより美しい?

 あまり自明でないものとしては、例えば ( x , y , z )=( 25 , 31 , 86 ) の場合だ

ろう。この場合、N=88 である。

 何れも一つ解が見つかれば、その比例定数倍したものも解になるので、解は無数にある

というわけである。

 この形の方程式の一般解が、オイラーにより与えられている。

 講談社ブルーバックス 現代数学小事典(寺阪英孝 編)に、その記載(p.167)がある。

ただ、その記載の通りに計算すると誤った答が導かれるので、多分誤植があるのだろう。

 いくつか実験をして、次の式が正しいものと判断される。

    x=−(a2+3b22+(c2+3d2)(ac+3bd+3ad−3bc)

    y= (a2+3b22−(c2+3d2)(ac+3bd−3ad+3bc)

    z= (c2+3d22−(a2+3b2)(ac+3bd+3ad−3bc)

    N= (c2+3d22−(a2+3b2)(ac+3bd−3ad+3bc)


 表計算ソフト Excel のセルに数式を設定して、いろいろ遊んでみたのが下図である。

     

 さて、上記のオイラーが与えたと言われる数式であるが、

    3+y3+z3=N3

が本当に成り立つのか、確認しようとする気が失せるほど長い。オイラーは、どのようなア

イデアのもとに、この数式を発見したのだろうか?むしろ、そちらの方に関心がある。

(追記) 平成18年5月14日 広島工業大学の大川研究室より、この話題について、いろ
     いろお教えいただいた。

 良く本に載っているオイラーの式と言われる物が間違っている場合があるということであ
るが、確かに私がインターネットで検索したHPの中にも、式の通り計算しても結果が得ら
れない場合があった。(実際に、確認済み)式の複雑さからか、なかなか検証困難なため
だろうか?

 また、次のHPサイト:コンピュータ数論 をご紹介いただいた。 上記の話題についてよく
まとめられていて大いに参考になった。

 そこでは、

 x ,y ,z ,N を整数とするとき、

        x3+y3+z3=N3 の既約パラメータ解は無数に存在する


ことが示されている。とても感動的な結果である。

 また、x3+y3+z3=N3 の解として、ラマヌジャンは次の式を残しているようだ。

    x=3a2+5ab−5b2

    y=4a2−4ab+6b2

    z=5a2−5ab−3b2

    N=6a2−4ab+4b2


オイラーの式と比べて、その簡素さにただ驚くばかりである。

 また、オイラーの時代には、 4+y4+z4=N4 には解はないだろうと予想されていたら
しいが、反例が発見されたという。(Elkies 1987年) Frye による最小解は、

      958004+2175194+4145604=4224814

であるそうだ。

(追々記) 平成18年5月17日 広島工業大学の大川研究室からの連絡で、上記のオイ
      ラーの式が正しいことが確認された。数式処理ソフトMathematicaを用いられた
      そうだ。

 手計算で確認しようと思えば、次のように考えるのが筋だろう。

 A=a2+3b2 、B=ac+3bd 、C=c2+3d2 、D=3ad−3bc とおくと、

    x=−A2+C(B+D) 、 y= A2−C(B−D)

    z= C2−A(B+D) 、 N= C2−A(B−D)

 このとき、 x+y = 2CD 、 xy = C22−(A2−BC)2 なので、

 x3+y3 = (x+y)3−3xy(x+y)

      = 8C33−6CD(C22−(A2−BC)2

      = 2C33+6CD(A2−BC)2

同様にして、 N−z = 2AD 、 Nz = (C2−AB)2−A22 なので、

 N3−z3 = (N−z)3+3Nz(N−z)

       = 8A33+6AD((C2−AB)2−A22

       = 2A33+6AD(C2−AB)2

 これらが等しいことを言えばいいのだが、...。

つまり、 2C33+6CD(A2−BC)2=2A33+6AD(C2−AB)2 から

      (A3−C3)D3=3D(C(A2−BC)2−A(C2−AB)2

               =3D(CA4−2A2BC2+B23−AC4+2A2BC2−A32

               =3D(CA4+B23−AC4−A32

               =3D(AC(A3−C3)−B2(A3−C3))

               =(A3−C3)(3AC−3B2)D

が成り立つことを示せばいいのだが、...。

 ここで、

 3AC−3B2=3(a2+3b2)(c2+3d2)−3(ac+3bd)2

        =3a22+9a22+9b22+27b22−3a22−18abcd−27b22

        =(3ad−3bc)2=D2

なので、 (A3−C3)D3=(A3−C3)(3AC−3B2)D が成り立つ。

 よって、x3+y3 = N3−z3 より、 x3+y3+z3=N3 であることが言える。

(コメント) 厳密な証明とは言えないが、何とか強引に、成り立つことの確かさを確認する
      ことができて「ホッ!」としている。

(追々々記) 平成18年5月18日 当HPがいつもお世話になっている、らすかるさんから
       ラマヌジャンの式について、その証明をいただいた。

 風邪を引いて体調が絶不調で、かつ超多忙(従って、休めない...(T.T) )ということで、
整理が覚束なく、この日のアップになってしまいました。らすかるさん、申し訳ないです。

    x=3a2+5ab−5b2 、 y=4a2−4ab+6b2 

    z=5a2−5ab−3b2 、 N=6a2−4ab+4b2

 について、x3+y3+z3=N3 が成り立つことを示す。

高々3乗の計算なので腕力があれば何でもないが、らすかるさんは次のように工夫された。

(証明) u=(a+b)/2、 v=(a−b)/2 とおいて、それぞれの変数に代入して整理すると、

    x=3u2+16uv−7v2 、 y=6u2−4uv+14v2 

    z=−3u2+16uv+7v2 、 N=6u2+4uv+14v2

これより、
       x+z=32uv 、 xz=(16uv)2−(3u2−7v22

       N−y=8uv 、 Ny=(6u2+14v22−(4uv)2

なので、

 xz(x+z)+Ny(N−y)

=32uv{(16uv)2−(3u2−7v22}+8uv{(21422−(uv)2

=32uv{(16uv)2(3u2−7v22}+32uv{(3u2+7v22(2uv)2

=32uv{(16uv)2−(2uv)2}+32uv{(3u2+7v22−(3u2−7v22

=32uv・252(uv)2+32uv・84(uv)2

=10752(uv)3

=29・21(uv)3

ところで、

 (x+z)3−(N−y)3=(32uv)3−(8uv)3=215(uv)3−29(uv)3=29・63(uv)3

よって、

   (x+z)3−(N−y)3=x3+y3+z3−N3+3{xz(x+z)+Ny(N−y)}

より、

   x3+y3+z3−N3=29・63(uv)3−3・29・21(uv)3=0

したがって、  x3+y3+z3=N3 が成り立つ。(証終)

(コメント) とても洗練された証明で、分かりやすいですね!高校1年レベルの実力テスト
      問題に使えそうな雰囲気です。


 GAI さんから、上記に関連した話題の提供です。(平成26年1月19日付け)

237892+619452+428642=428682+619432+237872
37892+19452+28642=28682+19432+37872
7892+9452+8642=8682+9432+7872
892+452+642=682+432+872
92+52+42=82+32+72
  1237892+5619452+6428642=2428682+7619432+3237872
123782+561942+642862=242862+761942+323782
12372+56192+64282=24282+76192+32372
1232+5612+6422=2422+7612+3232
122+562+642=242+762+322
12+52+62=22+72+32

 どうやって探し出すんだろう?


 攻略法さんからのコメントです。(平成26年1月19日付け)

 A+B-C=0 のとき、(X-A)2+(X-B)2+(X+C)2=(X+A)2+(X+B)2+(X-C)2 が成り立つので、

 1+2-3=0 より、 (X-1)2+(X-2)2+(X+3)2=(X+1)2+(X+2)2+(X-3)2 において、x=6 とおくと、

   52+42+92=72+82+32

 同様に、2+21-23=0 より、 (X-2)2+(X-21)2+(X+23)2=(X+2)2+(X+21)2+(X-23)2 において、

x=66 とおくと、 642+452+892=682+872+432

 2+77-79=0 より、 (X-2)2+(X-77)2+(X+79)2=(X+2)2+(X+77)2+(X-79)2 において、

x=866 とおくと、 8642+7892+9452=8682+9432+7872

 2+921-923=0 より、 (X-2)2+(X-921)2+(X+923)2=(X+2)2+(X+921)2+(X-923)2 において、

x=2866 とおくと、 28642+19452+37892=28682+37872+19432

 2+19077-19079=0 より、

  (X-2)2+(X-19077)2+(X+19079)2=(X+2)2+(X+19077)2+(X-19079)2 において、

x=42866 とおくと、 428642+237892+619452=428682+619432+237872


類題 次の式を計算してみてください。

 (a) 6428642 + 1237892 + 5619452 - (2428682 + 7619432 + 3237872)
 (b) 428642 + 237892 + 619452 - (428682 + 619432 + 237872)
 (c) 28642 + 37892 + 19452 - (28682 + 19432 + 37872)
 (d) 8642 + 7892 + 9452 - (8682 + 9432 + 7872)
 (e) 642 + 892 + 452 - (682 + 432 + 872)
 (f) 429252 - (823272)

 (g) 6428642 + 1237892 + 5619452 - (2428682 + 7619432 + 3237872)
 (h) 642862 + 123782 + 561942 - (242862 + 761942 + 323782)
 (i) 64282 + 12372 + 56192 - (24282 + 76192 + 32372)
 (j) 6422 + 1232 + 5612 - (2422 + 7612 + 3232)
 (k) 642 + 122 + 562 - (242 + 762 + 322)
 (l) 62 + 12 + 52 - (22 + 72 + 32)

 (m) 6428642 + 1237892 + 5619452 - (2428682 + 7619432 + 3237872)
 (n) 42862 + 23782 + 61942 - (42862 + 61942 + 23782)
 (o) 282372192 - (282192372)

 (答え)はすべて0。


(コメント) 不思議な関係ですね!


  以下、工事中


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